Базы данных - [12]

₆(S₂);

5) r₇ (S₂ ∪ S₁) ≔ r₅(S₁) × r₆(S₂);

Здесь мы взяли полученные в пункте три, несоединимые кортежи левого отношения-операнда (r₅(S₁)) и дополнили их на схеме второго отношения-операнда S₂ Null-значениями, т. е. декартово умножили отношение, состоящее из этих самых несоединимых кортежей на отношение r₆(S₂), определенное в пункте четыре;

6) r₁(S1) →× _P r₂(S₂) ≔ (r₁ × _Pr₂) ∪ r₇ (S₂ ∪ S₁);

Это и есть левое внешнее соединение, полученное, как можно видеть, объединением декартового произведения исходных отношений-операндов r₁ и r₂ и отношения r₇ (S₂∪ S₁), определенного в пункте пятом.

Теперь у нас имеются все необходимые выкладки для определения не только операции левого внешнего соединения, но по аналогии и для определения операции правого внешнего соединения. Итак:

1) операция левого внешнего соединения в строгом формулярном виде выглядит следующим образом:

r₁(S₁) →× _Pr₂(S₂) ≔ (r₁ × _Pr₂) ∪ [(r₁ \ (r₁ × _Pr₂) [S₁]) × {∅(S₂)}];

2) операция правого внешнего соединения определяется подобным образом операции левого внешнего соединения и имеет следующий вид:

r₁(S₁) →× _Pr₂(S₂) ≔ (r₁ × _Pr₂) ∪ [(r₂ \ (r₁ × _Pr₂) [S₂]) × {∅(S₁)}];

Эти две производные операции имеют всего два свойства, достойные упоминания.

1. Свойство коммутативности:

1) для операции левого внешнего соединения:

r₁(S₁) →× _Pr₂(S₂) ≠ r₂(S₂) →× _Pr₁(S₁);

2) для операции правого внешнего соединения:

r₁(S₁) ←× _Pr₂(S₂) ≠ r₂(S₂) ←× _Pr₁(S₁)

Итак, мы видим, что свойство коммутативности не выполняется для этих операций в общем виде, но при этом операции левого и правого внешнего соединения взаимно обратны друг другу, т. е. выполняется:

1) для операции левого внешнего соединения:

r₁(S₁) →× _Pr₂(S₂) = r₂(S₂) →× _Pr₁(S₁);

2) для операции правого внешнего соединения:

r₁(S₁) ←× _Pr₂(S₂) = r₂(S₂) ←× _Pr₁(S₁).

2. Основным свойством операций левого и правого внешнего соединения является то, что они позволяют восстановить исходное отношение-операнд по конечному результату той или иной операции соединения, т. е. выполняются:

1) для операции левого внешнего соединения:

r₁(S1) = (r₁ →× _Pr₂) [S₁];

2) для операции правого внешнего соединения:

r₂(S₂) = (r₁ ←× _Pr₂) [S₂].

Таким образом, мы видим, что первое исходное отношение-операнд можно восстановить из результата операции левого правого соединения, а если конкретнее, то применением к результату этого соединения (r₁ × r₂) унарной операции проекции на схему S₁, [S₁].

И аналогично второе исходное отношение-операнд можно восстановить применением к результату операции правого внешнего соединения (r₁ × r₂) унарной операции проекции на схему отношения S₂.

Приведем пример для более подробного рассмотрения работы операций левого и правого внешних соединений. Введем уже знакомые нам отношения r₁(S₁) и r₂(S₂) с различными схемами отношения:

r₁(S₁):

r₂(S₂):

Несоединимый кортеж левого отношения-операнда r₂(S₂) – это кортеж {d, 4}. Следуя определению, именно им следует дополнить результат внутреннего соединения двух исходных отношений-операндов.

Условие внутреннего соединения отношений r₁(S₁) и r₂(S₂) также оставим прежнее: P = (b1 = b2). Тогда результатом операции левого внешнего соединения будет следующая таблица:

r₁(S₁) →× _Pr₂(S₂):

Действительно, как мы можем видеть, в результате воздействия операции левого внешнего соединения, произошло пополнение результата операции внутреннего соединения несоединимыми кортежами левого, т. е. в нашем случае первого отношения-операнда. Пополнение кортежа на схеме второго (правого) исходного отношения-операнда по определению произошло при помощи Null-значений.

И аналогично результатом правого внешнего соединения по тому же, что и раньше, условию P = (b1 = b2) исходных отношений-операндов r₁(S₁) и r₂(S₂) является следующая таблица:

r₁(S₁) ←× _Pr₂(S₂):

Действительно, в этом случае пополнять результат операции внутреннего соединения следует несоединимыми кортежами правого, в нашем случае второго исходного отношения-операнда. Такой кортеж, как не трудно видеть, во втором отношении r₂(S₂) один, а именно {2, y}. Далее действуем по определению операции правого внешнего соединения, дополняем кортеж первого (левого) операнда на схеме первого операнда Null-значениями.

И, наконец, рассмотрим третий вариант приведенных ранее операций соединения.

Операция полного внешнего соединения. Эту операцию вполне можно рассматривать не только как операцию, производную от операций внутреннего соединения, но и как объединение операций левого и правого внешнего соединения.

Операция полного внешнего соединения определяется как результат пополнения того же самого внутреннего соединения (как и в случае определения левого и правого внешних соединений) несоединимыми кортежами одновременно и левого, и правого исходных отношений-операндов. Исходя из этого определения дадим формулярный вид этого определения:

r₁(S₁) ↔× _Pr₂(S₂) = (r₁ →× _Pr₂) ∪ ( r₁ ←× _Pr₂);

У операции полного внешнего соединения также имеется свойство, сходное с аналогичным свойством операций левого и правого внешних соединений. Только за счет изначальной взаимно-обратной природы операции полного внешнего соединения (ведь она была определена как объединение операций левого и правого внешних соединений) для нее выполняется