Артур Шопенгауэр - Философ германского эллинизма - [35]

Тем не менее Шопенгауэр считал, что ее истинность можно доказать другим путем. Он не только обходит трудности, которые возникают при традиционных подходах к решению проблемы, но и предоставляет единственное объяснение, которое учитывает нашу способность оценивать с абсолютной уверенностью и независимо от эмпирических наблюдений значительное количество утверждений о природе пространства и времени. Например, мы абсолютно точно знаем, что пространство - трехмерно и существует только один порядок времени, в соответствии с которым могут происходить события и др. Наиболее важным в данном объяснении является постижение (как прояснил Кант) истинного характера математики, выявляющее в первую очередь возможность того, как мы можем иметь априорное знание математических истин, причем эти истины в то же самое время являются абсолютно достоверными и в нашем опыте.

120

Таким образом, наше признание необходимости, присущей некоторым пространственным связям, как это можно найти в утверждениях евклидовой геометрии, происходит не из рассуждений о наблюдаемых явлениях и не из нашего понимания "абстрактных понятий", с помощью которых мы описываем эти связи, а "непосредственно из формы всякого знания, которую мы сознаем априорно" (том I). Шопенгауэр, в сущности, предполагает, что с помощью определенной "чистой" (то есть не эмпирической) интуиции фигур в пространстве мы способны просчитать и проверить истинность не только аксиом, на которых основана система Евклида, но и сами теоремы, доказательства которых Евклид вывел на основании этих аксиом. А далее он приводит достаточно пространное критическое рассуждение о том, как обычно делаются доказательства и демонстрируются геометрические утверждения, так как традиционное объяснение евклидовой геометрии рассматривается как система аксиом, в которой одни теоремы вытекают из других теорем и из первоначальных утверждений (которые не требуют доказательств), путем применения чисто логических принципов доказательства. Однако это "излишняя предосторожность", подобно "костылям для здоровых ног", так как мы можем познать истину любой теоремы с помощью простой "интуиции" и достаточно независимо от предлагаемых логических выводов, которые "предлагались нам только дополнительно, после всех доказательств", и, в любом случае, они не могли дать ответа на вопрос почему в связи с рассматриваемой теоремой.

121

Истинное положение вещей становится понятным, когда мы пытаемся определить статус самих аксиом Евклида: по крайней мере, не возникает вопроса в том, что мы признаем их истинными на основании предварительной демонстрации. Но если вопрос не здесь, то может ли он возникнуть в другом месте? "Сами аксиомы не являются более очевидными, чем любые другие геометрические утверждения, разве что они более просты благодаря своей краткости" (том I).

Рассуждения Шопенгауэра об арифметике намного короче, но его размышления следуют по тому же пути, а доказательством в этом случае является то, что наше признание универсальной обоснованности арифметических формул основывается "чистой интуицией во времени". Связь со временем устанавливается путем арифметических вычислений. С одной стороны, это понятие необходимо объяснить в связи с тем, что применяется одна и та же методика проведения вычислений, и, таким образом, очевидно, что соблюдается принцип последовательности во времени или временного согласования.

С другой стороны, счет является "единственным арифметическим" действием, под которым Шопенгауэр подразумевает различные арифметические действия, например сложение, способный быть в некотором роде "редуцированым" к счету, а позже он говорит о нем как о "целой системе" в арифметике, которая просто является "системой сокращения счета", возможной благодаря арифметическим знакам. В свете таких рассуждений Шопенгауэр доказывает, что правильность каждой отдельной задачи, или примера, или равенства в арифметике можно проверить, обращаясь только к интуиции во времени, то есть не обращаясь к опыту наблюдения за фактами и в то же самое время не прибегая к какому-либо логическому решению, вытекающему из утверждений, которые ранее признаны истинными.

122

Однако, поскольку наше признание необходимости таких равенств зависит от нашего понимания времени как априорного условия и формы всего опыта, а не чисто знания понятий, то из этого следует, что они [равенства] являются "синтетическими", а не аналитическими. При этом он остро критикует Гердера за то, что тот объявил выражение "7+5=12" "идентичными утверждениями" (ЧК, 39) [1].

1 Ссылка на работу И.Г. Гердера "Metacritique of the Critique of Pure Reason" [("Метакритика кантовской критики чистого разума") 1799 г.], в которой вся кантианская доктрина геометрии и арифметики была отвергнута и заменена другой, в соответствии с которой математические утверждения имеют чисто тавтологический характер.

Насколько правдоподобными ни показались бы вам эти рассуждения, последние достижения, как в самой математике, так и в философии математики, не позволяют нам согласиться с заложенной в них главной идеей. Например, структура неевклидовых геометрий и применение одной из таких геометрий в физическом пространстве с точки зрения общей теории относительности, можно сказать, породили проблему связи геометрии и эмпирической реальности в совершенно другом свете по сравнению с тем, как ее видел Шопенгауэр. Таким образом, его настойчивое утверждение об исключительной роли перцептивной интуиции в геометрическом мышлении, с помощью которой мы осознаем, что пространственные фигуры непременно должны соответствовать требованиям Евклида, можно сказать, основывается на ошибочном понимании самой проблемы.