Аппараты с перемешивающими устройствами - [5]
Для одного груза круговая частота запишется по формуле:
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной распределенной нагрузкой [2,с.81].
Мешалки являются сосредоточенной нагрузкой на валу и пример приводится для сведения.
Балка с распределенной нагрузкой условно разбивается на ряд участков с заменой распределенной нагрузки, приходящейся на каждый участок, сосредоточенной силой, приложенной по центру тяжести участка.
Колебания системы с распределенной нагрузкой находятся по приведенной выше формуле:
Точность решения зависит от числа n участков.
Прогибы находят по уравнению упругой линии с равномерно распределенной нагрузкой:
Для 8 участков (8 прогибов):
С учетом этого, уравнение упругой линии:
С учетом того, что
__
Рассмотрим по методу Релея колебания балки на нескольких опорах [2,с.87].
Схема трехопорного неразрезного вала подходит для однопролетного вала, имеющего дополнительный короткий пролет в верхней стойке привода электродвигателя.
В целом многопорный вал больше соответствует конструкциям полупогружных насосов, погружных электродвигателей, но пример трехопорного вала нужно использовать в проектировании химических и нефтяных аппаратов с перемешивающими устройствами.
Форма прогиба такая же как у статического прогиба под действием сил, применяя принцип Даламбера (приводя динамическое нагружение к статическому приложению сил).
Силы инерции вызывают дополнительный прогиб х>1 и х>2. Их уравновешивают дополнительные силы упругости, возникшие из-за этого прогиба.
k>1 – прогиб в сечении I от силы равной 1 и приложенной в сечении I,
k>2 – прогиб в сечении I от силы равной 1 и приложенной в сечении II,
k>3– прогиб в сечении II от силы равной 1 и приложенной в сечении I,
k>4 – прогиб в сечении II от силы равной 1 и приложенной в сечении II,
Сила инерции в сечении I:
Сила инерции в сечении II:
Сила равная 1 приложенная в сечении I вызывает прогиб k>1, а сила инерции в этом же сечении вызывает прогиб:
Прогиб в этом же сечении от силы инерции, приложенной в сечении II:
Полный прогиб в сечении I:
Полный прогиб в сечении II:
Полученные уравнения для х>1 и х>2 являются дифференциальными уравнениями движения для рассматриваемого случая трехопорного вала.
Коэффициенты в уравнениях находятся по принципу сложения сил, по которому прогиб в любой точке вала под действием сосредоточенных сил получается в виде суммы прогибов от каждой из силы по отдельности (для прогиба в сечении I находятся и суммируются прогибы от сил Q>1, Q>2, R>C).
Уравнение упругой линии для левой части вала (с – расстояние между правой опорой и точкой приложением силы):
Прогиб в месте приложения груза:
Находится неизвестная реакция опоры R>C для статически неопределимого трехопорного вала (балки). Для нахождения реакции R>C принципом сложения сил отбрасывается средняя опора вала и заменяется направленной снизу вверх реакцией R>C. Так получается статически определимая система, нагруженная 3 силами: известными Q>1 и Q>2 и неизвестной реакцией R>C. Сумма прогибов от каждой силы в точке с равна нулю так как в этой точке находится опора. И из условия равенства нулю прогибов находится реакция R>C.
Прогиб от силы Q>1 в точке с:
Прогиб от силы Q>2 в точке с:
Прогиб от силы R>C в точке с:
Вместо прогибов в формулу подставляются их значения:
Из этоф формулы находится R>c
Находится прогиб в сечении I по известной R>C. Прогиб равен сумме прогибов от сил Q>1, Q>2, R>C
Прогиб в сечении I от силы Q>1(c = l – a>1)
Прогиб в сечении I от силы R>C(c = l>2и y = a>1)
Подставляя значение R>C
Прогиб в сечении I от силы Q>2(c = a>2и y = l – a>2)
Суммарный прогиб в сечении
Формула прогиба в сечении I зависит от силы Q>1 и силы Q>2. Группируются члены, содержащие силу Q>1 c получением формулы прогиба в сечении от силы равной Q>1, приложенной в сечении I:
Если в эту формулу вести Q>1= 1, то формула покажет прогиб в сечении I от единичной силы, приложенной в сечении I:
Если в полученном уравнении Q>2= 1
если в эту формулу вести Q>2= 1,
Прогиб в сечении II от силы Q>1
Прогиб в сечении II от силы R>C
Прогиб в сечении II от силы Q>2
Полный прогиб в сечении II
Группируя члены для сил Q>1 и Q>2 и принимая эти силы равными 1:
Теперь решаются уравнения прогибов х>1и х>2. Коэффициент k>3 заменяется на равный k>2.
Вал совершает гармонические колебания:
Производные этих последних уравнений по времени:
Теперь в полученные ранее формулы для х>1 и х>2 подставляются вторые производные:
После преобразований:
Для определения частоты р необходимо приравнять нулю определитель:
После группировки членов, содержащих р>2 и р>4:
Полученная формула решается для нахождения р>2:
В результате решения получаются два значения частот, соответствующих двум возможным формам колебания вала. При первой форме два груза движутся вверх, при второй форме один груз движется вверх, а другой груз движется вниз.
Критические скорости вала:
Аналогично двухпроленому валу находят частоты колебаний для многопролетных неразрезных валов.
__
Критические скорости валов относительно поперечных колебаний
Рассмотрим однопролетный вал с силой, приложенной посередине [2,с.97].
Вал жесткий:
Массой вала пренебрегаем, центр тяжести нагрузки и ось вала не совпадают за счет неточности изготовления и прогиба системы от собственного веса.
