Апология математики, или О математике как части духовной культуры - [3]
Тем не менее два математика на разных континентах приходят к одним и тем же выводам о свойствах натурального ряда чисел, хотя никто из них не может наблюдать числа внешним зрением, а лишь зрением внутренним — внутри собственной мысли. В этом труднообъяснимом единстве взглядов на идеальные сущности некоторые усматривают доказательство существования Бога.
Итак, мы отстаиваем два тезиса. Первый, что математика — вне зависимости от её практического использования — принадлежит духовной культуре. Второй, что отдельные фрагменты математики входят в общеобязательную часть этой культуры.
Что же касается вопроса, что именно из математики, причем из математики неприкладной, должно входить в общеобязательный культурный минимум, то однозначный ответ на этот вопрос вряд ли уместен. Каждый должен определять этот минимум для себя. Задача общества — предоставить своему члену ту информацию о математических понятиях, идеях и методах, откуда этот субъективный минимум можно было бы выбирать. Вообще, знание есть дело добровольное, и насилие тут неуместно. На ум приходит замечательное высказывание, принадлежащее Сухарто (второму президенту Индонезии — не путать с первым её президентом, Сукарно): «В наше время чрезвычайно трудно заставить кого-либо сделать что-либо добровольно». Иногда, тем не менее, в дальнейшем изложении будут встречаться рекомендации о включении в математический минимум тех или иных знаний; эти рекомендации не предлагаются как нечто категорическое и даются лишь в качестве возможных примеров и материала для дальнейшего обсуждения. Школьная программа по математике — слишком болезненная тема, чтобы её здесь затрагивать (хотя эта тема не может не волновать, поскольку касается миллионов наших детей). Ограничусь мнением, что хорошо бы в этой программе устранить перекос в вычислительную сторону математики и уделить больше внимания стороне качественной, не связанной непосредственно с вычислениями.
Замечу в заключение, что математика входит в мировую культуру и своим этическим аспектом. Наличие такового у математики может показаться странным. Он, однако, есть. Математика не допускает лжи. Она требует, чтобы утверждения не просто провозглашались, но и доказывались. Она учит задавать вопросы и не бояться непонимания ответов. Она по природе демократична: её демократизм обусловлен характером математических истин. Их непреложность не зависит от того, кто их провозглашает, академик или школьник. Приведу такой пример. Некий третьекурсник механико-математического факультета МГУ осмелился опровергнуть одно из утверждений лектора, лектором же был не кто иной, как сам Колмогоров. После чего третьекурсник был немедленно приглашён Колмогоровым посетить его дачу, где и был произведён в ученики.
Данный текст писался не для математиков, а скорее для гуманитариев. Поэтому при его составлении в ряде случаев приходилось выбирать между понятностью и точностью. Предпочтение отдавалось понятности. (Достигнуть абсолютной точности всё равно невозможно. Невозможно, впрочем, достигнуть и абсолютной понятности — как и вообще чего-либо абсолютного.) За неточность прошу прощения у математиков, а всякому, любезно указавшему на непонятное место, приношу искреннюю благодарность.
Глава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма
В кажущемся противоречии с настойчивым подчёркиванием, что в данном очерке нас интересует именно непрактический, неприкладной аспект математики, мы предполагаем весьма и весьма поучительным включение в «джентльменский набор» математических представлений знание того, почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 назывется египетским. А всё дело в том, что древнеегипетские строители пирамид нуждались в способе построения прямого угла. Вот требуемый способ. Верёвка разбивается на 12 равных частей, границы между соседними частями помечаются, а концы веревки соединяются. Затем верёвка натягивается тремя людьми так, чтобы она образовала треугольник, а расстояния между соседними натягивателями составляли бы, соответственно, 3 части, 4 части и 5 частей. В таком случае треугольник окажется прямоугольным, в коем стороны 3 и 4 будут катетами, а сторона 5 — гипотенузой, так что угол между сторонами 3 и 4 будет прямым. Боюсь, что большинство читателей в ответ на вопрос «Почему треугольник окажется прямоугольным?» сошлётся на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то в этом случае сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей. Здесь же используется теорема,
Монография по теории расчета нефтяных аппаратов (оболочек корпусов). Рассмотрены трехмерная и осесимметричная задачи теории упругости, реализация расчета методом конечных элементов. Написана для обмена опытом между специалистами. Предназначается для специалистов по разработке конструкций нефтяного статического оборудования (емкостей, колонн и др.) проектных институтов, научно-исследовательских институтов, заводов нефтяного машиностроения, инжиниринговых компаний, профессорско-преподавательского состава технических университетов.
За последнее столетие одно из центральных мост в математической науке заняла созданная немецким математиком Г. Кантором теория бесконечных множеств, понятия которой отражают наиболее общие свойства математических объектов. Однако в этой теории был вскрыт ряд парадоксов, вызвавших у многих видных ученых сомнения в справедливости ее основ. В данной книге излагается в популярной форме, какими путями шла человеческая мысль в попытках понять идею бесконечности как в физике, так и в математике, рассказывается об основных понятиях теории множеств, истории развития этой науки, вкладе в нее русских ученых. Книга предназначена для широких кругов читателей, желающих узнать, как менялось представление о бесконечности, чем занимается теория множеств и каково современное состояние этой теории.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Увлекательные и каверзные головоломки для юных математиков.Непростые, но интересные задачи научат логически рассуждать и нестандартно мыслить.
Тим Глинн-Джонс — автор этой необычной книги — знает о цифрах все. Вы убедитесь в этом, прочитав его занимательные истории «от нуля до бесконечности». С их помощью вы перестанете опасаться числа 13, разберетесь, какую страшную тайну хранит в себе число 666, узнаете, чем отличается американский миллиард от европейского и почему такие понятия как Время, Вселенная и Смерть, можно определить только через бесконечность.
Не часто приходится держать в руках книгу, которая открывает новые миры, в которой сочетаются глубина мысли и блестящая языковая игра; книгу, которой удалось совместить ничем на первый взгляд не связанные сложные области знания.Выдающийся американский ученый изобретает остроумные диалоги, обращается к знаменитым парадоксам пространства и времени, находит параллели между картинами Эшера, музыкой Баха и такими разными дисциплинами, как физика, математика, логика, биология, нейрофизиология, психология и дзен-буддизм.Автор размышляет над одной из величайших тайн современной науки: каким образом человеческое мышление пытается постичь самое себя.