Алиса в стране математики - [24]
— Неужели ты не понимаешь? — грустно сказал Шляпник. — Ведь если последнего момента нет, значит, шесть часов не наступят никогда...
— Почему? — спросила Алиса.
— Потому что они могут наступить только после этого момента, а его-то как раз и нет! — ответил Шляпник.
Тут Соня качнулся чуть сильнее и... свалился с чайника головой в торт!
КАК РЕШАЮТСЯ ЗАДАЧИ БЕЗ РЕШЕНИЙ
Казалось бы, кому могут быть интересны загадки без отгадок, или, говоря языком математиков, задачи, у которых нет решений? Однако именно такие задачи приковывали внимание математиков в течение тысячелетий: эти непокорные задачи были вызовом человеческому уму, и поэтому они интриговали математиков так же сильно, как сыщиков — тайны загадочных преступлений.
Вот история трёх знаменитых задач, пришедших из глубокой древности.
Первая задача называется «квадратура круга»: как построить круг и квадрат одинаковой площади, пользуясь только циркулем и линейкой без делений?
Примерно так выглядят круг и квадрат одинаковой площади — чтобы закрасить их одним и тем же слоем краски, понадобится одинаковое количество краски
Условие задачи кажется настолько простым, что за неё берётся даже тот, кто только начал знакомиться с геометрией, однако решить её не удалось даже величайшим математикам! Правда, Архимед придумал способ, как можно подойти к точному решению сколь угодно близко.
Шли века и тысячелетия, но задача о квадратуре круга оставалась непобедимой. И только в конце XIX века немецкий математик Линдеман нашёл неожиданное решение этой задачи: он строго доказал, что с помощью только циркуля и линейки построить круг и квадрат одинаковой площади невозможно! Это доказательство произвело на математиков такое сильное впечатление, что Линдемана нарекли «победителем задачи о квадратуре круга». Такой титул говорит, что строгое доказательство отсутствия решения математики считают тоже решением: ведь решить задачу — это найти все решения или доказать, что решений нет!
Вторая знаменитая задача называется «удвоение куба». О происхождении этой задачи существует даже легенда.
Однажды на острове Делос в Эгейском море вспыхнула эпидемия чумы. В те времена перед чумой были бессильны даже мудрые греки. Единственное, что они могли сделать — обратиться за помощью к богам. Однако беседовать с богами напрямую мог не каждый древний грек — этим занимались только «оракулы», то есть «предсказатели судеб». И вот оракул, посоветовавшись с богом искусств Аполлоном, объявил, что для спасения от чумы надо удвоить золотой жертвенник Аполлону. Этот жертвенник имел форму куба, и жители Делоса поспешили как можно скорей отлить из золота ещё один такой же куб и поставили его поверх первого.
Однако чума не прекратилась.
— Надо удвоить жертвенник, сохранив его форму, — объяснил оракул. — Новый жертвенник должен быть тоже кубом, но чтобы найти размеры нового куба, Аполлон разрешает вам пользоваться только циркулем и линейкой!
Бедные делосцы, не сумев сами решить эту задачу, обратились к знаменитому философу Платону (он так уважал математику, что над входом в сад, где он, прогуливаясь, занимался со своими учениками, велел начертать: «Пусть не входит сюда не знающий геометрии»). Однако и Платон не смог решить задачу об удвоении куба.
Взялся за эту задачу и другой греческий математик — Архит. Он был не только выдающимся математиком, но и хорошим полководцем, однако даже математик-полководец не смог победить задачу об удвоении куба: хотя он и нашёл очень красивое решение, но оно требовало не только циркуля и линейки. К многочисленным заслугам Архита принадлежит, между прочим, и спасение Платона от рабства — как видите, жизнь древнегреческих учёных была не такой уж безмятежной: им приходилось не только прогуливаться с учениками по садам!
Второй из этих кубов имеет примерно вдвое больший объем, чем первый: если бы это были сосуды для воды, то во второй из них поместилось бы воды вдвое больше, чем в первый
Примерно в то же время (в IV веке до нашей эры) «удвоением куба» занимался ещё один древнегреческий математик — Менехм. О нём существует красивая легенда. Однажды Александр Македонский обратился к Менехму:
— Я хочу изучить всю премудрость греческой науки. Но скажи: нет ли для царей более короткого пути к геометрии?
— К геометрии нет царских путей, — ответил царю учёный. — Для всех — одна дорога!
Эта беседа настолько замечательна, что её приписывают ещё одному царю и ещё одному учёному: царю Птолемею и математику Евклиду, который действительно собрал «всю премудрость греческой науки» в большую книгу, которую он назвал «Начала» (Евклид уже тогда понимал, что это только начало, однако до сих пор в школах всего мира геометрию изучают почти по Евклиду!).
Среди греческих учёных, занимавшихся задачей об удвоении куба, был и Эратосфен, который первым придумал, как «отсеивать» простые числа от составных. Этот способ называется «решето Эратосфена» и используется до сих пор, хотя вычисления проводятся сегодня на электронно-вычислительных машинах. Эратосфен, кстати, был не только превосходным математиком, но и неплохим спортсменом — олимпийским чемпионом по пятиборью! Но и олимпийский чемпион не смог решить задачу об удвоении куба.
