Алгоритмы для жизни: Простые способы принимать верные решения - [63]
Приведем пример. Допустим, ваш друг демонстрирует вам две монеты. Одна – обычная, «правильная» монета, у которой есть орел и решка, а у другой – два орла на обеих сторонах. Он бросает монеты в мешок и наугад достает одну из них. Подбрасывает – и выпадает орел. Как вы думаете, какую из монет достал ваш друг?
Схема Байеса о работе в обратном направлении даст легкий ответ на этот вопрос. Орел выпадет в 50 % случаев, если монета обычная, и в 100 %, если она двухсторонняя. Таким образом, мы можем с уверенностью утверждать, что ответ будет
А теперь рассмотрим следующий вариант. На этот раз у друга девять обычных монет и одна монета с двумя орлами. Он бросает все десять монет в мешок, вытаскивает одну наугад и подбрасывает: орел! Что вы подумаете теперь? Была это обычная монета или с двумя орлами?
Закон Лапласа предусматривает и такой вариант, и ответ вновь впечатляюще прост. Как и в предыдущем случае, у обычной монеты шанс, что выпадет орел, в два раза ниже, чем у двухсторонней. Но теперь вероятность вытащить из мешка первой обычную монету в девять раз выше. Получается, мы можем просто взять эти два различных расчета и перемножить их между собой: вероятность, что ваш друг держит обычную монету, а не двухстороннюю, ровно в 4,5 раза выше.
Математическая формула, которая отражает это соотношение, связывая воедино наши прежние представления и доказательства, стала известна как правило Байеса – хотя, по иронии судьбы, именно Лаплас внес больший вклад в ее разработку. И она дает нам удивительно простое и четкое решение проблемы, как объединить ранее существовавшие убеждения с наблюдаемыми ныне доказательствами: просто перемножить их вероятности между собой.
Стоит отметить, что существование ранних предположений имеет решающее значение в работе этой формулы. Если ваш друг просто подойдет к вам со словами: «Я подбросил монетку, взятую из этого мешка, и выпал орел. Как думаешь, какова вероятность, что это обычная монета?» – вы не сможете ответить на этот вопрос, не имея никакой, хоть мало-мальской информации о том, какие монеты вообще были в этом мешке. (Вы не можете перемножить две вероятности, не имея значения одной из них.) Это предположение, что было в мешке до подбрасывания монетки (то есть шансы каждой гипотезы оказаться верной еще до получения каких-либо точных данных), получило название априорной вероятности. И согласно правилу Байеса вам всегда требуется некоторая априорная вероятность, даже если это просто догадки. Сколько всего существует двухсторонних монет? Насколько легко их достать? И в какой степени ваш друг – аферист, в конце концов?
Из-за того что правило Байеса всегда зависит от использования априорных вероятностей, на разных этапах истории оно считалось спорным, предвзятым и даже антинаучным. Но в действительности мы довольно редко попадаем в настолько незнакомую ситуацию, что наш разум становится подобен чистому листу (пункт, к которому мы сейчас вернемся).
Между тем, когда у вас есть некие значения априорных вероятностей, правило Байеса применимо к широкому кругу проблем прогнозирования, будь то большие объемы данных или более общий вид малых данных. Вычисление вероятности выигрыша в лотерею или выбрасывания орла – это только начало. Методы, разработанные Байесом и Лапласом, придут на помощь в любой ситуации, где есть некая неопределенность и какое-то количество данных для работы. И это как раз то, с чем мы имеем дело, пытаясь предсказать будущее.
Принцип Коперника
Предсказывать очень трудно, особенно будущее.
Датская пословица
Оказавшись у Берлинской стены, Ричард Готт задал себе простой вопрос: «Где я нахожусь?» – что означало: «В какой точке всего периода существования данного артефакта я оказался?» В некотором роде он задал временной вариант пространственного вопроса, который преследовал астронома Николая Коперника за 400 лет до этого: где же мы? Где во Вселенной находится Земля? Коперник совершил радикальный переворот в сознании людей, предположив, что Земля на самом деле вовсе не находится в центре Вселенной, а по сути, вообще нигде не находится. Готт решил предпринять аналогичный шаг, но в отношении времени.
Он предположил, что момент, в который он увидел Берлинскую стену, не был особенным: это был абсолютно обычный момент всего существования стены. И если каждый момент обладает абсолютно равной вероятностью, то в среднем момент появления Готта пришелся четко на экватор (поскольку с вероятностью 50 % стена могла рухнуть до этого момента и с такой же вероятностью рухнет позже). Грубо говоря, если у нас нет других вводных, мы можем считать, что появились точно на экваторе существования любого феномена[22]. В таком случае лучшее предположение, которое мы можем высказать относительного того, сколько это явление еще просуществует, очевидно: ровно столько же, сколько оно уже существовало. Готт наблюдал Берлинскую стену спустя восемь лет после ее возведения, поэтому, по его предположению, она должна была простоять еще восемь. (Стена продержалась 20 лет.)
