Алгоритмы для жизни: Простые способы принимать верные решения - [62]
Это самая сложная часть размышлений Байеса. Предположения на основе гипотетического прошлого дают нам основание мыслить в обратном порядке – от самого невероятного к самому вероятному.
Подход был изобретательный и инновационный, но и с помощью него невозможно было окончательно решить задачу про лотерею. Представляя результаты Байеса перед членами Королевского общества, Прайс смог установить тот факт, что если вы приобретете один лотерейный билет и он выиграет, то вероятность того, что по меньшей мере половина билетов выиграет, равна 75 %. Однако размышления о вероятностях вероятностей могут свести с ума. И если бы кто-то спросил нас: «Ну хорошо, но какова же все-таки вероятность выигрыша в лотерее?» – нам все равно было бы нечего сказать. Ответ на этот вопрос – как же преобразовать все эти различные возможные гипотезы в единое четкое предположение – будет получен только несколькими годами позднее французским математиком Пьером-Симоном Лапласом.
Закон Лапласа
Лаплас родился в Нормандии в 1749 году. Отец отправил его учиться в католическую школу с тем расчетом, что он изберет священническую стезю. Лаплас продолжал изучать богословие в Канском университете, но в отличие от Байеса, который всю жизнь балансировал на грани духовных и научных изысканий, он в результате отказался от духовного сана в пользу математики.
В 1774 году, не будучи знакомым с работой Байеса, Лаплас публикует многообещающий документ под названием «Трактат о вероятности причин по событиям». В нем Лаплас наконец решает вопрос, как делать выводы в обратном направлении – от наблюдаемых последствий до их вероятных причин.
Байес, как мы увидели, нашел способ сравнить вероятность одной гипотезы относительно другой. Но в случае с лотереей обнаруживается в буквальном смысле бесконечное число гипотез – по одной для каждой возможной доли выигрышных билетов. С помощью вычислений и «противоречивой» математики, ярым защитником которой был Байес, Лапласу удалось доказать, что весь этот огромный спектр вероятностей может быть сведен к единственному возможному значению, да еще и удивительно лаконичному. По его теории, если мы действительно ничего не знаем о розыгрыше наперед, то после вытаскивания счастливого билета с первой же попытки мы будем ожидать, что доля выигрышных билетов во всем выпуске составляет
Эта невероятно простая схема для оценки вероятностей также известна как закон Лапласа, и ее легко применить в любой ситуации, когда вам предстоит оценить шансы грядущего события, основываясь на его истории. Если вы предпринимаете десять попыток чего-либо и пять из них оказываются успешными, закон Лапласа оценивает ваши общие шансы как
Лаплас продолжал применять свой статистический подход к широкому кругу проблем своего времени, в том числе и к оценке того, действительно ли вероятность рождения мальчиков и девочек среди младенцев одинакова. (Он установил с практической достоверностью, что мальчики рождаются немного чаще, чем девочки.) Он также написал «Философское эссе о вероятностях», очевидно, первую книгу по теории вероятности для широкой аудитории (и по-прежнему – одну из лучших), изложив в ней свою теорию и ее применение в судебной практике, в науке и в повседневной жизни.
Закон Лапласа предлагает нам первое простое правило для сопоставления малых данных в реальном мире. Даже если мы произвели всего лишь несколько исследований (или всего одно), он дает нам практические рекомендации. Хотите высчитать вероятность опоздания вашего автобуса? Узнать шансы на победу вашей любимой команды? Подсчитайте, сколько раз это уже случалось в прошлом, и прибавьте к этому числу один, а затем разделите на количество возможностей плюс два. Красота закона Лапласа в том, что он работает одинаково хорошо как в том случае, когда у нас есть всего одно значение величины, так и в том, когда их миллионы. Вера малютки Энни в то, что завтра взойдет солнце, вполне оправданна, ведь закон говорит нам: если Земля наблюдала восход солнца в течение примерно 1,6 трлн дней кряду, то шансы на восход солнца в следующей «попытке» неотличимы от 100 %.
Правило Байеса
Все эти предположения постижимы и последовательны. Почему мы должны отдавать предпочтение одному из них, который не является более постижимым и последовательным, нежели остальные?
Дэвид Юм
Лаплас также внес важное дополнение к правилу Байеса: что делать с гипотезами, вероятность которых выше, чем у других. Например, даже с учетом того, что в лотерею могут выиграть 99 % людей, купивших лотерейные билеты, все же более вероятно, как мы можем предположить, что приз достанется только 1 %. Это предположение должно быть отражено в наших оценочных данных.
