Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - [96]

1990	Никого
1986	Серхио Батиста (Аргентина), Андреас Бреме (Западная Германия), 9 ноября
1982	Никого
1978	Рене ван де Керкхоф, Вилли ван де Керкхоф (Голландия), 16 сентября; Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября
1974	Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября
1970	Пьацца (Бразилия), Пьерлуиджи Чера (Италия), 25 февраля

С первого взгляда это воспринимается как удивительный набор совпадений, однако с точки зрения математики в этом списке нет ничего выдающегося, потому что стоит только случайно выбрать группу из 23 человек, как окажется, что совпадение дней рождения у двух людей в группе будет более вероятным, чем отсутствие таких совпадений. Это явление известно как парадокс дней рождения. В нем нет никаких противоречий, однако же он бросает вызов здравому смыслу: число 23 кажется абсурдно малым для такого совпадения.

Доказательство парадокса дней рождения похоже на те доказательства, что мы использовали в начале главы, изучая комбинации, выпадающие при бросании костей. На самом деле можно переформулировать парадокс дней рождения в виде следующего утверждения: если взять кость с 365 сторонами, то после 23 бросаний более вероятно, что одна и та же грань выпадет два раза, чем что такого не случится.

Шаг 1

Вероятность того, что у двух человек в группе окажется одна и та же дата рождения, равна единице минус вероятность того, что ни у каких двух людей в этой группе дни рождения не совпадут.

Шаг 2

Вероятность того, что в группе из двух человек их дни рождения не совпадут, равна ³⁶⁵/₃₆₅ × ³⁶⁴/₃₆₅. Так получается, потому что первый человек может родиться в любой день (365 возможностей из полного числа 365), а для второго остается любой из дней за исключением того, когда родился первый (364 возможности из полного числа 365). Для простоты не будем обращать внимания на лишний день в високосные годы.

Шаг 3

Вероятность того, что ни у кого в группе из трех человек даты рождения не попадут на один и тот же день, равна ³⁶⁵/₃₆₅ × ³⁶⁴/₃₆₅ × ³⁶³/₃₆₅. В группе из четырех человек она оказывается равной ³⁶⁵/₃₆₅ × ³⁶⁴/₃₆₅ × ³⁶³/₃₆₅ × ³⁶²/₃₆₅ и т. д. Каждое следующее умножение делает результат все меньше и меньше. Когда в группе оказывается 23 человека, результат наконец пересекает отметку в 0,5 (точное значение равно 0,493).

Шаг 4

Если вероятность того, что ни у каких двух человек даты рождения не попадут на один и тот же день, меньше чем 0,5, то вероятность того, что по крайней мере у двух дни рождения совпадут, оказывается больше 0,5 (из шага 1). Так что в группе из 23 человек скорее окажется, что какие-то два человека родились в один и тот же день, чем наоборот.

Футбольные матчи предоставляют нам идеальную выборку, демонстрирующую, что реальные факты отвечают предсказаниям теории, потому что на поле всегда имеется 23 человека — две команды из и игроков и судья. Впрочем, рассмотрение с этой точки зрения финалов чемпионата мира показывает, что парадокс дней рождения работает чуть-чуть слишком хорошо. Вероятность, что у двух людей в группе из 23 человек окажется один и тот же день рождения, равна 0,507, что лишь едва больше 50 процентов. Однако же, судя по нашему списку, такое случилось в семи из десяти случаев (даже если исключить близнецов ван де Керкхоф), что дает 70 процентов[58].

Частично это следует отнести на счет закона больших чисел. Если бы я анализировал все матчи, сыгранные на чемпионатах мира, то можно было бы пребывать практически в полной уверенности, что результат окажется близким к 50,7 процента. Однако имеется и еще одна переменная. Равномерно ли распределены дни рождения футболистов на протяжении всего года? Возможно, нет. Исследования показывают, что для футболистов выше вероятность рождения в определенные времена года — вероятностное предпочтение оказывается у тех, кто родился сразу после даты, которая разделяет тех, кого записывают в школу на текущий год или на следующий. Дело в том, что родившиеся вскоре после этой даты будут самыми старшими в своем классе, а потому и самыми крупными, и будут показывать лучшие результаты в спорте. А если в распределение дат рождения вносится какая-то систематическая поправка, то можно ожидать более высокой вероятности совпадения дней рождения. Например, в наше время значительное число детей появляются на свет посредством кесарева сечения или искусственных родов. Это чаще случается по рабочим дням (поскольку сотрудники родильных отделений предпочитают отдыхать по выходным), и в результате оказывается, что дни рождения распределены по календарным датам не самым случайным образом. Если взять выборку из 23 людей, рожденных за один и тот же 12-месячный период, — скажем, детей в классе начальной школы, — то окажется, что вероятность одного и того же дня рождения у двух из них существенно превосходит 50,7 процента.

Если у вас под рукой нет группы из 23 человек, чтобы проверить это, займитесь своими ближайшими родственниками. При наличии четырех человек имеется 70-процентная вероятность, что у двух из них дни рождения придутся на один и тот же месяц. Всего лишь семь человек требуется, чтобы вероятным оказался факт рождения двоих из них в одну и ту же неделю, а в группе из 14 человек имеется пятидесятипроцентная вероятность, что два дня рождения отстоят друг от друга не более чем на один день. По мере роста группы вероятность растет на удивление быстро. В группе из 35 человек шансы на наличие совпадающего дня рождения составляют 85 процентов, а в группе из 60 — уже более 99 процентов.