Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - [89]
Как я уже говорил, вероятность получить шестерку при бросании одной кости равна >1/>6. Бросим вторую кость; шанс получить шестерку снова равен >1/>6. Каковы шансы получить пару шестерок при бросании пары костей? Самое основное правило теории вероятностей состоит в том, что вероятность наступления двух независимых событий равна вероятности первого, умноженной на вероятность второго. При бросании пары костей исходы, относящиеся к первой кости, не зависят от исходов, относящихся ко второй кости, и наоборот. Таким образом, шанс появления двух шестерок равен >1/>6 × >1/>6, что есть >1/>36. Это можно увидеть, перебирая все возможные комбинации выпадения двух костей: имеется 36 равновероятных исходов, лишь один из которых представляет собой две шестерки.
Если посмотреть на это с другой стороны, то из 36 возможных исходов 35 не представляют собой выпадание двух шестерок. Таким образом, вероятность невыпадания двух шестерок равна >35/>36. Вместо того чтобы перебирать 35 примеров, можно с равным успехом начать с полного набора исходов, а затем вычесть случаи, когда выпадают две шестерки. В нашем примере это вычисление выглядит как 1 - >1/>36 = >35/>36. Итак, вероятность того, что некоторое событие не случится, равна 1 минус вероятность, что это случится.
В давние времена стол для игры в кости заменял собой игровые автоматы, и игроки делали ставки на исход бросания костей. Одна классическая азартная игра состояла в том, чтобы бросить четыре кости и поставить на выпадение по крайней мере одной шестерки. Получался славный источник скромного дохода для всякого, кто желал поставить на это, и наших математических познаний уже достаточно, чтобы увидеть почему:
Шаг 1
Вероятность выпадения одной шестерки при бросании четырех костей равна 1 минус вероятность невыпадения шестерки ни на одной из четырех костей.
Шаг 2
Вероятность невыпадения шестерки на одной кости есть >5/>6, так что при наличии четырех костей вероятность равна >5/>6 × >5/>6 × >5/>6 × >5/>6 = >625/>1296 что есть 0,482.
Шаг 3
Итак, вероятность выпадения шестерки равна 1 - 0,482 = 0,518.
Вероятность 0,518 означает, что если вы бросите четыре кости тысячу раз, то можно ожидать получения по крайней мере одной шестерки около 518 раз, а отсутствия шестерок около 482 раз. Если вы поставили деньги на выпадение по крайней мере одной шестерки, то в среднем вы будете выигрывать больше, чем проигрывать, так что к окончанию игры немного разбогатеете.
Живший в XVII веке писатель шевалье де Мэрэ был завсегдатаем как игральных заведений, так и самых модных салонов Парижа. Шевалье интересовался математической стороной происходящего за игорным столом не менее, чем своим выигрышем. В связи с этим у него возник целый ряд вопросов, на которые сам он был не в состоянии ответить. Поэтому в 1654 году он обратился к прославленному математику Блезу Паскалю. Его обращение было случайным событием, которое положило начало систематическому исследованию случайности.
Блезу Паскалю в то время был всего 31 год, но он пользовался известностью в интеллектуальных кругах уже почти два десятилетия. Уже в детстве Паскаль выказывал такие способности, что к 13 годам отец позволил ему посещать научный салон, организованный уже известным нам монахом и любителем простых чисел Мареном Мерсенном. Туда захаживали многие знаменитые математики, включая Рене Декарта и Пьера де Ферма. (Кстати, еще подростком Паскаль доказал важные теоремы из геометрии и изобрел нечто вроде механической вычислительной машины, которую назвал паскалиной.)
Первый вопрос, с которым де Мэрэ обратился к Паскалю, был таков. Итак, имеется равная >1/>36 вероятность выпадения двух шестерок при бросании двух костей. Вообще говоря, вероятность выпадения двух шестерок повышается по мере того, как пару костей бросают снова и снова. Наш шевалье желал узнать, сколько раз необходимо бросать кости, чтобы ставка на две шестерки превратилась в дело прибыльное.
Второй вопрос был посложнее. Пусть Жан и Жак играют в кости, причем игра состоит из нескольких раундов, в каждом из которых они бросают кость и определяют, у кого выпало большее число очков. Окончательным победителем является тот, у кого большее число очков выпало три раза. Они оба поставили по 32 франка, так что на кону 64 франка. Если игра прерывается после трех раундов, в течение которых Жан выбросил большее число два раза, а Жак лишь один раз, то как следует поделить деньги в банке?
Размышляя над этими вопросами и ощущая потребность обсудить их с коллегой по цеху гениев, Паскаль написал своему другу из мерсенновского салона — Пьеру де Ферма. Ферма, живший вдали от Парижа в Тулузе, был на 22 года старше Паскаля. Он работал судьей в местном уголовном суде и забавлял себя математикой, к которой относился как к интеллектуальному развлечению. Тем не менее любовь к сосредоточенным размышлениям сделала его одним из наиболее уважаемых математиков первой половины XVII столетия.
Короткая переписка между Паскалем и Ферма по поводу шансов — которые они называли словом «hasard»[53] — ознаменовала переломный момент в истории науки. В ходе переписки эти господа нашли ответы на большую часть вопросов, поставленных азартным шевалье, а в процессе решения заложили основы современной теории вероятностей.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Для этой книги Алекс Беллос собрал 125 головоломок, созданных за прошедших два тысячелетия, вместе с историями об их происхождении и влиянии. Он выбрал самые захватывающие, увлекательные и стимулирующие работу мысли задачи. Эти головоломки можно считать математическими только в самом широком смысле: их решение требует логического мышления, но не требует глубоких знаний математики. Все эти задачи происходят из Китая, средневековой Европы, викторианской Англии и современной Японии, а также из других времен и мест. Это книга для тех, кто интересуется математикой и логикой и любит разгадывать головоломки. На русском языке публикуется впервые.
Петр Ильинский, уроженец С.-Петербурга, выпускник МГУ, много лет работал в Гарвардском университете, в настоящее время живет в Бостоне. Автор многочисленных научных статей, патентов, трех книг и нескольких десятков эссе на культурные, политические и исторические темы в печатной и интернет-прессе США, Европы и России. «Легенда о Вавилоне» — книга не только о более чем двухтысячелетней истории Вавилона и породившей его месопотамской цивилизации, но главным образом об отражении этой истории в библейских текстах и культурных образах, присущих как прошлому, так и настоящему.
Научно-популярный журнал «Открытия и гипотезы» представляет свежий взгляд на самые главные загадки вселенной и человечества, его проблемы и открытия. Никогда еще наука не была такой интересной. Представлены теоретические и практические материалы.
«Что такое на тех отдаленных светилах? Имеются ли достаточные основания предполагать, что и другие миры населены подобно нашему, и если жизнь есть на тех небесных землях, как на нашей подлунной, то похожа ли она на нашу жизнь? Одним словом, обитаемы ли другие миры, и, если обитаемы, жители их похожи ли на нас?».
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
Взыскание Святого Грааля, — именно так, красиво и архаично, называют неповторимое явление средневековой духовной культуры Европы, породившее шедевры рыцарских романов и поэм о многовековых поисках чудесной лучезарной чаши, в которую, по преданию, ангелы собрали кровь, истекшую из ран Христа во время крестных мук на Голгофе. В некоторых преданиях Грааль — это ниспавший с неба волшебный камень… Рыцари Грааля ещё в старых текстах именуются храмовниками, тамплиерами. История этого католического ордена, основанного во времена Крестовых походов и уничтоженного в начале XIV века, овеяна легендами.
В занимательной и доступной форме автор вводит читателя в удивительный мир микробиологии. Вы узнаете об истории открытия микроорганизмов и их жизнедеятельности. О том, что известно современной науке о морфологии, методах обнаружения, культивирования и хранения микробов, об их роли в поддержании жизни на нашей планете. О перспективах разработок новых технологий, применение которых может сыграть важную роль в решении многих глобальных проблем, стоящих перед человечеством.Книга предназначена широкому кругу читателей, всем, кто интересуется вопросами современной микробиологии и биотехнологии.
Знания всегда давались человечеству нелегко. В истории науки было все — драматические, а порой и трагические эпизоды соседствуют со смешными, забавными моментами. Да и среди ученых мы видим самые разные характеры. Добрые и злые, коварные и бескорыстные, завистливые и честолюбивые, гении и талантливые дилетанты, они все внесли свой вклад в познание мира, в котором мы живем.Уолтер Гратцер рассказывает о великих открытиях и людях науки честно и объективно, но при этом ясно: он очень любит своих героев и пишет о них с большой симпатией.
Людям свойственно спокойно принимать тот факт, что зачастую они ведут себя как животные, они даже порой гордятся, что способны на «подлинную страсть». Но люди всегда страшно удивляются, что животным часто оказываются свойственны привычки, считающиеся чисто человеческими, — от шумных пирушек (с последующим неизбежным похмельем) до конфликтов «отцов и детей», от гомосексуализма до мафии. Английский писатель и биолог Огастес Браун пишет об этом с чисто английским юмором и тонкой наблюдательностью.
Артур Миллер, известный американский историк науки (сейчас живет в Лондоне), повествует о выдающихся открытиях астрофизиков XX века. В центре рассказа — судьба индийского физика, лауреата Нобелевской премии Субрахманьяна Чандрасекара, чьи теории во многом сформировали наши сегодняшние представления о Вселенной. Книга Миллера — об эволюции звезд, о белых карликах, красных гигантах, нейтронных звездах и о самых таинственных космических объектах — черных дырах, жадно пожирающих материю и энергию.
Сегодня мы уже не можем себе представить жизнь без компьютеров и Интернета. Каждый день возникают все новые и новые гаджеты, которые во многом определяют наше существование — нашу работу, отдых, общение с друзьями. Меняются наши реакции, образ мышления. Известный американский психиатр, профессор Лос-Анджелесского университета и директор Научного центра по проблемам старения Гэри Смолл вместе со своим соавтором (и женой) Гиги Ворган утверждают: мы наблюдаем настоящий эволюционный скачок, и произошел он всего за пару-тройку десятилетий!В этой непростой ситуации, говорят авторы, перед всем человечеством встает трудная задача: остаться людьми, не превратившись в придаток компьютера, и не разучиться сопереживать, общаться, любить…