Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - [53]
Попробуем еще: раз с другим числом, например 421:
421 - 124 = 297,
297 + 792 = 1089.
Мы получили тот же самый ответ. На самом деле не имеет значения, с какого трехзначного числа мы начинаем — в конце концов всегда получится 1089. Как по волшебству, из ниоткуда возникает число 1089, подобно скале в зыбучих песках случайно выбранных чисел. Хотя устойчивое появление одного и того же результата для любого исходного числа при применении к нему всего лишь нескольких простых операций и может показаться несколько озадачивающим, тому имеется объяснение, и мы очень скоро до него доберемся. Тайна возникающего вновь и вновь числа 1089 раскрывается практически немедленно после того, как задача переписывается, но не с помощью цифр, а с помощью букв.
Хотя использование чисел просто для развлечения всегда сопутствовало математическим изысканиям, начало развития собственно математики было обусловлено необходимостью решения задач практического характера. Папирус Ринда, относящийся примерно к 1600 году до н. э. (хранится в Британском музее, а назван в честь владельца — английского египтолога А. Г. Ринда), представляет собой наиболее полный из дошедших до нас математических документов Древнего Египта. В нем содержатся 84 задачи из таких областей, как землемерие, бухгалтерский учет и разделение определенного числа хлебов на заданное число людей.
Египтяне формулировали свои задачи весьма изысканно. К примеру, задача № 30 из папируса Ринда звучит так: «Когда писец спрашивает вас, чему равна куча, если известно, что >2/>3 + >1/>10 от нее составит десять, пусть он услышил правильный ответ». Здесь «куча» — египетский термин для неизвестной величины, которую в наши дни обозначают буквой x, представляющей собой фундаментальный и неотъемлемый символ современной алгебры. Сейчас бы мы задали Задачу № 30 так: чему равно значение x, если >2/>3 + >1/>10 при умножении на x дает 10? Или еще короче:
Найти x, если (>2/>3 + >1/>10)x = 10.
Поскольку у египтян не было привычных нам математических обозначений, таких как скобки, знак равенства или иксы, они искали ответ на заданный выше вопрос методом проб и ошибок, делая оценки для «кучи». Такой метод называется правилом ложного положения, он весьма похож на игру в гольф. Когда вы уже вышли на поле, становится легче понять, как же отправить мяч в лунку. Аналогичным образом, коль скоро у вас есть какой-то ответ, пусть и неправильный, вы можете сообразить, как приблизиться к правильному. Современный метод решения, наоборот, состоит в том, чтобы сложить дроби, стоящие при переменной x, при этом уравнение
можно записать в виде
или же
что далее сводится к
откуда, наконец,
Обозначения, использующие буквы, делают жизнь куда проще.
Египетский иероглиф для сложения представлял собой пару ног, шагающих справа налево:
(«складывающие» ноги шагают в ту сторону, в которую читается текст). Вычитание представлялось парой ног, шагающих слева направо: . По мере того как обозначения для чисел эволюционировали от палочки с насечками до современных обозначений числительных, менялись и символы арифметических операций.У египтян, однако, не было символа для неизвестной величины; не было его и у Пифагора с Евклидом. Для них математика была по природе геометрической, связанной с тем, что можно построить. А неизвестная величина требовала следующего уровня абстракции. Диофант, живший в Александрии в III веке, первым из греческих математиков стал использовать символ для неизвестной величины. Для этой цели он выбрал греческую букву сигма — ς. Для обозначения квадрата неизвестного числа он писал Δ>γ, а для куба — K>γ. Хотя его обозначения и были крупным достижением для того времени, поскольку позволяли сформулировать задачу более четко, они все же оставались довольно путаными, потому что — в отличие от системы, использующей x, х>2 и х>3, — не было очевидной визуальной связи между величиной ς и ее степенями Δ>γ и K>γ. Впрочем, несмотря на недостатки своих обозначений, Диофант вошел в историю математики как отец алгебры.
«Алгебра» — общий термин для математики уравнений, когда числа и операции записываются в виде символов. Само слово «алгебра» имеет занятную историю. В средневековой Испании над дверьми парикмахерских красовались вывески «Algebrista у Sangrador», то есть «Костоправ и Кровопускатель» — два вида деятельности, которые составляли неотъемлемую часть услуг цирюльника. По этой же причине шест, указывавший на характер заведения, выкрашен в красные и белые полосы — красный символизирует кровь, а белый — повязки.
Корень в слове «algebrista» взят из арабского «al-jabr»[32], что, помимо указания на примитивные хирургические приемы, означало также восстановление или воссоединение. Абу Джафар Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми, багдадский математик, живший в IX веке, написал вводный математический курс, озаглавленный «Книга восстановления и редукции» (буквально «сокращение и сравнение» — «Хисаб аль-джабр у аль-мукабаля»). В своем труде он объяснил два метода решения арифметических задач. Аль-Хорезми писал весьма цветисто, витиевато, по-восточному, но мы для лучшего понимания будем использовать современные обозначения и терминологию.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Для этой книги Алекс Беллос собрал 125 головоломок, созданных за прошедших два тысячелетия, вместе с историями об их происхождении и влиянии. Он выбрал самые захватывающие, увлекательные и стимулирующие работу мысли задачи. Эти головоломки можно считать математическими только в самом широком смысле: их решение требует логического мышления, но не требует глубоких знаний математики. Все эти задачи происходят из Китая, средневековой Европы, викторианской Англии и современной Японии, а также из других времен и мест. Это книга для тех, кто интересуется математикой и логикой и любит разгадывать головоломки. На русском языке публикуется впервые.
Петр Ильинский, уроженец С.-Петербурга, выпускник МГУ, много лет работал в Гарвардском университете, в настоящее время живет в Бостоне. Автор многочисленных научных статей, патентов, трех книг и нескольких десятков эссе на культурные, политические и исторические темы в печатной и интернет-прессе США, Европы и России. «Легенда о Вавилоне» — книга не только о более чем двухтысячелетней истории Вавилона и породившей его месопотамской цивилизации, но главным образом об отражении этой истории в библейских текстах и культурных образах, присущих как прошлому, так и настоящему.
Научно-популярный журнал «Открытия и гипотезы» представляет свежий взгляд на самые главные загадки вселенной и человечества, его проблемы и открытия. Никогда еще наука не была такой интересной. Представлены теоретические и практические материалы.
«Что такое на тех отдаленных светилах? Имеются ли достаточные основания предполагать, что и другие миры населены подобно нашему, и если жизнь есть на тех небесных землях, как на нашей подлунной, то похожа ли она на нашу жизнь? Одним словом, обитаемы ли другие миры, и, если обитаемы, жители их похожи ли на нас?».
Взыскание Святого Грааля, — именно так, красиво и архаично, называют неповторимое явление средневековой духовной культуры Европы, породившее шедевры рыцарских романов и поэм о многовековых поисках чудесной лучезарной чаши, в которую, по преданию, ангелы собрали кровь, истекшую из ран Христа во время крестных мук на Голгофе. В некоторых преданиях Грааль — это ниспавший с неба волшебный камень… Рыцари Грааля ещё в старых текстах именуются храмовниками, тамплиерами. История этого католического ордена, основанного во времена Крестовых походов и уничтоженного в начале XIV века, овеяна легендами.
В занимательной и доступной форме автор вводит читателя в удивительный мир микробиологии. Вы узнаете об истории открытия микроорганизмов и их жизнедеятельности. О том, что известно современной науке о морфологии, методах обнаружения, культивирования и хранения микробов, об их роли в поддержании жизни на нашей планете. О перспективах разработок новых технологий, применение которых может сыграть важную роль в решении многих глобальных проблем, стоящих перед человечеством.Книга предназначена широкому кругу читателей, всем, кто интересуется вопросами современной микробиологии и биотехнологии.
Знания всегда давались человечеству нелегко. В истории науки было все — драматические, а порой и трагические эпизоды соседствуют со смешными, забавными моментами. Да и среди ученых мы видим самые разные характеры. Добрые и злые, коварные и бескорыстные, завистливые и честолюбивые, гении и талантливые дилетанты, они все внесли свой вклад в познание мира, в котором мы живем.Уолтер Гратцер рассказывает о великих открытиях и людях науки честно и объективно, но при этом ясно: он очень любит своих героев и пишет о них с большой симпатией.
Людям свойственно спокойно принимать тот факт, что зачастую они ведут себя как животные, они даже порой гордятся, что способны на «подлинную страсть». Но люди всегда страшно удивляются, что животным часто оказываются свойственны привычки, считающиеся чисто человеческими, — от шумных пирушек (с последующим неизбежным похмельем) до конфликтов «отцов и детей», от гомосексуализма до мафии. Английский писатель и биолог Огастес Браун пишет об этом с чисто английским юмором и тонкой наблюдательностью.
Артур Миллер, известный американский историк науки (сейчас живет в Лондоне), повествует о выдающихся открытиях астрофизиков XX века. В центре рассказа — судьба индийского физика, лауреата Нобелевской премии Субрахманьяна Чандрасекара, чьи теории во многом сформировали наши сегодняшние представления о Вселенной. Книга Миллера — об эволюции звезд, о белых карликах, красных гигантах, нейтронных звездах и о самых таинственных космических объектах — черных дырах, жадно пожирающих материю и энергию.
Сегодня мы уже не можем себе представить жизнь без компьютеров и Интернета. Каждый день возникают все новые и новые гаджеты, которые во многом определяют наше существование — нашу работу, отдых, общение с друзьями. Меняются наши реакции, образ мышления. Известный американский психиатр, профессор Лос-Анджелесского университета и директор Научного центра по проблемам старения Гэри Смолл вместе со своим соавтором (и женой) Гиги Ворган утверждают: мы наблюдаем настоящий эволюционный скачок, и произошел он всего за пару-тройку десятилетий!В этой непростой ситуации, говорят авторы, перед всем человечеством встает трудная задача: остаться людьми, не превратившись в придаток компьютера, и не разучиться сопереживать, общаться, любить…