Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - [121]
Георг Кантор придумал новый способ осмысления бесконечности, который устранил парадокс Галилея. Вместо того чтобы рассматривать отдельные числа, Кантор рассмотрел группы чисел, которые назвал «множествами». Кардинальное число всякого множества есть число членов в этой группе. Так, {1, 2, 3} — множество с кардинальным числом 3, а {17, 29, 5, 14} — множество с кардинальным числом 4. «Теория множеств» Кантора заставляет сердце биться чаще, когда рассматриваются множества с бесконечным числом членов. Он ввел новый символ для бесконечности — ℵ>0 (произносится «алеф-нуль»), используя первую букву древнееврейского алфавита, снабженную нижним индексом, и сказал, что это есть кардинальное число множества натуральных чисел, то есть {1, 2, 3, 4, 5…}. Каждое множество, члены которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами, также обладает кардинальным числом ℵ>0. Таким образом, поскольку имеется взаимно-однозначное соответствие между натуральными числами и их квадратами, множество квадратов {1, 4, 9,16, 25…} имеет кардинальное число ℵ>0. Подобным же образом, множество нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9…}, множество простых чисел {2, 3, 5, 7, 11…} и множество чисел, внутри которых содержится 666, то есть {666, 1666, 2666, 3666…}, — все они имеют кардинальное число ℵ>0. Если имеется множество с бесконечным числом членов и если возможно пересчитать члены один за другим, так что в конце концов каждый будет посчитан, то кардинальным числом такого множества является ℵ>0. По этой причине ℵ>0 стал известен как «счетная бесконечность». Причина же, по которой все это представляется столь замечательным, состоит в том, что Кантор показал, что можно двигаться и дальше. Сколь бы большим ни было ℵ>0, это сущее дитя в семье канторовских бесконечностей.
Я введу бесконечность большую чем ℵ>0, используя историю, которую, как говорят, Давид Гильберт приводил на своих лекциях. История эта — о гостинице со счетно-бесконечным (то есть ℵ>0) числом номеров. Это хорошо известное и весьма любимое математиками заведение иногда называют Гильбертовым отелем.
В Гильбертовом отеле имеется бесконечное число номеров, на дверях которых прибиты таблички 1, 2, 3, 4…. Однажды у регистрационной стойки отеля появляется путешественник и к своему разочарованию узнает, что в гостинице нет свободных мест. Он спрашивает, есть ли хоть какой-нибудь способ найти для него номер. Администратор отеля отвечает, что, конечно, есть. Все, что надо проделать, — это расселить уже имеющихся постояльцев по номерам следующим способом: того, кто жил в номере 1, — переселить в номер 2, того, кто жил в номере 2, — переселить в номер 3 и так далее, переселяя гостя из каждого номера n в номер n + 1. Как только это будет сделано, у каждого из старых постояльцев по-прежнему будут свои собственные апартаменты, а номер с табличкой 1 освободится для вновь приехавшего. Вот и отлично!
На следующий день возникает более сложная ситуация. Приезжает автобус, и каждому пассажиру этого автобуса нужен номер. А в автобусе бесконечное число сидений, занумерованных как 1, 2, 3 и так далее, и все они заняты. Есть ли теперь хоть какой-то способ расселить всех без исключения пассажиров? Другими словами, хотя гостиница и полна, может ли администратор так перетасовать постояльцев по номерам, чтобы в итоге освободить бесконечное число номеров для пассажиров автобуса? Да это легче легкого, говорят нам.
Все, что надо проделать на этот раз, — это переселить каждого постояльца в номер, на двери которого написано число в два раза большее, чем то, что написано на номере, где этот постоялец живет в данный момент. Тем самым заполнятся номера 2, 4, 6, 8…. А все номера, на дверях которых написано нечетное число, освободятся, и пассажирам автобуса дадут ключи от них. Пассажир, ехавший на первом сиденье, получит номер 1 (первое из нечетных чисел), пассажир, ехавший на втором сиденье, получит номер 3 (второе нечетное число) и т. д.
На третий день в Гильбертов отель прибывает много автобусов. Бесконечно много. Автобусы выстраиваются на стоянке перед гостиницей: сначала автобус 1, затем автобус 2, вслед за ним автобус 3 и т. д. В каждом автобусе — бесконечное число пассажиров (это автобусы того же типа, что приезжали накануне). И понятно, каждому пассажиру требуется номер. Есть ли способ найти для каждого пассажира из каждого автобуса номер в (уже заполненном) Гильбертовом отеле? Не проблема, отвечает администратор. Прежде всего ему надо освободить бесконечно много номеров. Он делает это тем же способом, что и накануне, — переселяет каждого постояльца в комнату с удвоенным номером. В результате свободными оказываются все нечетные номера. Все, что ему надо сделать, чтобы разместить там бесконечное число групп автобусных пассажиров, — это найти способ пересчитать всех пассажиров, потому что, как только он найдет такой способ, он поселит первого пассажира из списка в номер 1, второго — в номер 3, третьего — в номер 5 и т. д.
Администратор проделывает следующее. Сначала составляется список пассажиров, в котором каждый пассажир представлен записью вида
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Для этой книги Алекс Беллос собрал 125 головоломок, созданных за прошедших два тысячелетия, вместе с историями об их происхождении и влиянии. Он выбрал самые захватывающие, увлекательные и стимулирующие работу мысли задачи. Эти головоломки можно считать математическими только в самом широком смысле: их решение требует логического мышления, но не требует глубоких знаний математики. Все эти задачи происходят из Китая, средневековой Европы, викторианской Англии и современной Японии, а также из других времен и мест. Это книга для тех, кто интересуется математикой и логикой и любит разгадывать головоломки. На русском языке публикуется впервые.
Петр Ильинский, уроженец С.-Петербурга, выпускник МГУ, много лет работал в Гарвардском университете, в настоящее время живет в Бостоне. Автор многочисленных научных статей, патентов, трех книг и нескольких десятков эссе на культурные, политические и исторические темы в печатной и интернет-прессе США, Европы и России. «Легенда о Вавилоне» — книга не только о более чем двухтысячелетней истории Вавилона и породившей его месопотамской цивилизации, но главным образом об отражении этой истории в библейских текстах и культурных образах, присущих как прошлому, так и настоящему.
Научно-популярный журнал «Открытия и гипотезы» представляет свежий взгляд на самые главные загадки вселенной и человечества, его проблемы и открытия. Никогда еще наука не была такой интересной. Представлены теоретические и практические материалы.
«Что такое на тех отдаленных светилах? Имеются ли достаточные основания предполагать, что и другие миры населены подобно нашему, и если жизнь есть на тех небесных землях, как на нашей подлунной, то похожа ли она на нашу жизнь? Одним словом, обитаемы ли другие миры, и, если обитаемы, жители их похожи ли на нас?».
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
Взыскание Святого Грааля, — именно так, красиво и архаично, называют неповторимое явление средневековой духовной культуры Европы, породившее шедевры рыцарских романов и поэм о многовековых поисках чудесной лучезарной чаши, в которую, по преданию, ангелы собрали кровь, истекшую из ран Христа во время крестных мук на Голгофе. В некоторых преданиях Грааль — это ниспавший с неба волшебный камень… Рыцари Грааля ещё в старых текстах именуются храмовниками, тамплиерами. История этого католического ордена, основанного во времена Крестовых походов и уничтоженного в начале XIV века, овеяна легендами.
В занимательной и доступной форме автор вводит читателя в удивительный мир микробиологии. Вы узнаете об истории открытия микроорганизмов и их жизнедеятельности. О том, что известно современной науке о морфологии, методах обнаружения, культивирования и хранения микробов, об их роли в поддержании жизни на нашей планете. О перспективах разработок новых технологий, применение которых может сыграть важную роль в решении многих глобальных проблем, стоящих перед человечеством.Книга предназначена широкому кругу читателей, всем, кто интересуется вопросами современной микробиологии и биотехнологии.
Знания всегда давались человечеству нелегко. В истории науки было все — драматические, а порой и трагические эпизоды соседствуют со смешными, забавными моментами. Да и среди ученых мы видим самые разные характеры. Добрые и злые, коварные и бескорыстные, завистливые и честолюбивые, гении и талантливые дилетанты, они все внесли свой вклад в познание мира, в котором мы живем.Уолтер Гратцер рассказывает о великих открытиях и людях науки честно и объективно, но при этом ясно: он очень любит своих героев и пишет о них с большой симпатией.
Людям свойственно спокойно принимать тот факт, что зачастую они ведут себя как животные, они даже порой гордятся, что способны на «подлинную страсть». Но люди всегда страшно удивляются, что животным часто оказываются свойственны привычки, считающиеся чисто человеческими, — от шумных пирушек (с последующим неизбежным похмельем) до конфликтов «отцов и детей», от гомосексуализма до мафии. Английский писатель и биолог Огастес Браун пишет об этом с чисто английским юмором и тонкой наблюдательностью.
Артур Миллер, известный американский историк науки (сейчас живет в Лондоне), повествует о выдающихся открытиях астрофизиков XX века. В центре рассказа — судьба индийского физика, лауреата Нобелевской премии Субрахманьяна Чандрасекара, чьи теории во многом сформировали наши сегодняшние представления о Вселенной. Книга Миллера — об эволюции звезд, о белых карликах, красных гигантах, нейтронных звездах и о самых таинственных космических объектах — черных дырах, жадно пожирающих материю и энергию.
Сегодня мы уже не можем себе представить жизнь без компьютеров и Интернета. Каждый день возникают все новые и новые гаджеты, которые во многом определяют наше существование — нашу работу, отдых, общение с друзьями. Меняются наши реакции, образ мышления. Известный американский психиатр, профессор Лос-Анджелесского университета и директор Научного центра по проблемам старения Гэри Смолл вместе со своим соавтором (и женой) Гиги Ворган утверждают: мы наблюдаем настоящий эволюционный скачок, и произошел он всего за пару-тройку десятилетий!В этой непростой ситуации, говорят авторы, перед всем человечеством встает трудная задача: остаться людьми, не превратившись в придаток компьютера, и не разучиться сопереживать, общаться, любить…