А ну-ка, догадайся! - [24]

Если верхний край и боковые стороны обоих квадратов совпадают, то вы легко заметите, что второй «квадрат» — вовсе не квадрат, а прямоугольник, который выше квадрата на 1/12 дм. Площадь полоски 12х(1/12) дм², выступающей за пределы квадрата, равна площади «бесследно» исчезнувшей дыры.

Итак, недостающий единичный квадрат найден!

Но отчего вытянулся в высоту «квадрат»? От того, что вершина, которая расположена на гипотенузе части, имеющей форму прямоугольника, не совпадает с узлом квадратной решетки, на которую разграфлена бумага. Зная это, вы сможете построить варианты этого парадокса, в которых избыток или недостаток площади больше 1.

Описанный парадокс известен под названием «квадрат Керри» (фокусника-любителя из Нью-Йорка, открывшего основной принцип подобных парадоксов) и существует во множестве вариантов, включающих не только квадраты, но и треугольники. Тем, кто захочет побольше узнать о квадратах и треугольниках, рекомендую обратиться к моим книгам «Математические чудеса и тайны»[10] и «Математические головоломки и развлечения».[11]

Куда исчезает фигурка?

Самые забавные варианты этой разновидности парадоксов известны в виде картинок, на которых один из персонажей таинственным образом куда-то исчезает.

Парадоксы с исчезающими фигурками вот уже более ста лет используются в США для рекламы различных товаров. В конце прошлого века известный американский изобретатель головоломок Сэм Лойд придумал вариант парадокса, в котором фигурки китайских воинов располагались по кругу. При повороте диска один из воинов исчезал. С тех пор появилось множество вариантов парадоксов с фигурками, расположенными и вдоль прямой, и по кругу.

Подробно парадоксы такого рода рассмотрены в гл. 5 моей книги «Математические чудеса и тайны»[12].

Чтобы понять, в чем секрет таинственных исчезновений, начертим на листе бумаги десять линий:

Разрезав лист вдоль пунктирной линии, сдвинем нижнюю часть влево и вниз:

Сосчитаем линии. Их теперь только девять! Спрашивать, какая из десяти линий исчезла, бессмысленно: в действительности 10 исходных линий разрезаются на 18 отрезков, из которых составляются 9 новых линии. Каждая из этих линий на 1/9 длиннее каждой из исходных линий. Если нижнюю часть листа сдвинуть назад, то есть вправо и вверх, возникнут 10 исходных линий, каждая из которых на 1/10 короче любой из тех 9 линий, которые были перед вторым сдвигом.

Принцип, положенный в основу многочисленных вариантов парадоксов с исчезновением и появлением, линий и фигурок, давно известен фальшивомонетчикам. Разрезав 9 долларовых купюр на 18 частей вдоль определенных линий защитной сетки и переставив эти части, мошенники получают 10 купюр.

Подделку легко обнаружить, так как цифры номера на фальшивых купюрах оказываются сдвинутыми.

Дело в том, что во избежание подобной подделки номера на купюрах печатаются у противоположных обрезов на разной высоте — вверху и внизу. В 1968 г. в Лондоне за попытку подделать таким образом 5-фунтовую банкноту фальшивомонетчик был осужден на 8 лет тюремного заключения.

Хищение в банке

_{Хотите верьте, хотите не верьте, но парадоксы с исчезновением фигур имеют нечто общее с методом, которым некий нечистый на руку программист воспользовался, чтобы совершить хищение в одном крупном банке.}

_{Вор. Все гениальное просто! Я могу без труда ежемесячно срывать куш в 500 долларов. Для этого мне достаточно ввести в компьютер программу, по которой счет каждого клиента будет округляться не до ближайшего целого числа пенни, а до пенни в сторону понижения.}

_{Вор. Каждый клиент банка будет ежемесячно терять по полпенни.}

_{Поскольку сумма эта невелика, потери никто не заметит. У банка около 100 000 клиентов, поэтому общая потеря составит 500 долларов. Их компьютер будет ежемесячно переводить на мой счет, а во всех банковских книгах баланс всегда будет сходиться.}

Парадоксы с исчезновением фигур основаны на незаметном «похищении» небольших частей фигуры из разных мест. Так, если разрезать на части первый ковер мистера Рэнди и составить из них прямоугольник, то части будут находить друг на друга вдоль главной диагонали, образуя почти незаметный ромб.

Второй ковер мистера Рэнди, если разрезать его на части и составить из них новый ковер, чуть сокращается по высоте.

После того как компьютер переведет на счет вора 500 долларов, некоторые из клиентов банка получат на 1 пенни меньше процентов, чем им причиталось бы.

Тор наизнанку

_{Топологию иногда называют геометрией на резиновой поверхности, так как она занимается изучением свойств, не изменяющихся при непрерывных деформациях (изгибании, растяжении или сжатии) фигур.}

_{Тор — замечательная поверхность, имеющая форму бублика. Должно быть, вы очень удивитесь, если вам скажут, что проделав в торе из тонкой резины дыру, можно вывернуть его наизнанку. Между тем это действительно возможно, хотя и весьма трудно.}

_{Предположим, что мы приклеили одну ленту вдоль параллели еще не вывернутого тора изнутри, а другую — вдоль меридиана снаружи. Обе ленты не сцеплены.}

_{Вот как выглядит тор после того, как его вывернули наизнанку. Однако что это? Ленты теперь сцеплены! Но два кольца невозможно сцепить, не разрезая и не склеивая хотя бы одно из них. Что-то здесь не так! Что именно?}