200 знаменитых головоломок мира - [61]

44. Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине — 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались 3/4 пинты вина, а в кувшине — 1 пинта воды, смешанная с ¼ пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась 1/5 содержимого кувшина, то есть 1/5 одной пинты воды, смешанной с 1/5 одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены 4/5 четверти пинты (то есть 1/5 пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (1/5 пинты) воды.

45. В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось

(квадрат 99, деленный на 100); после третьего раза в бочонке оставалось

(куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числа на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73, 97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь.

С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило

26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999

пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания.

46. Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат 776 × 776. После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73 × 73) человек в каждом. Другими словами, 113 х (73)²— 1 = (776)². Это частный случай так называемого уравнения Пелля.

47. Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее: 1 111 111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239 × 4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239 (см. введение).

В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида

.

Люка в своей книге «Занимательная арифметика» приводит несколько удивительных таблиц, которые он позаимствовал из арифметического трактата под названием «Талкис», принадлежащего арабскому математику и астроному Ибн Албанна, жившему в первой половине XIII века. В Парижской национальной библиотеке имеется несколько манускриптов, посвященных «Талкис», и комментарий Алкаласади, который умер в 1486 г. Среди таблиц, приведенных Люка, есть одна, где перечислены все делители чисел указанного вида вплоть до n = 18. Кажется почти невероятным, что арабы того времени могли найти делители при n = 17, приведенные во введении к настоящей книге. Но Люка утверждает, что они имеются в «Талкис», хотя выдающийся математик читает их по-другому, и мне кажется, что их открыл сам Люка. Это, разумеется, можно было бы проверить, обратившись непосредственно к «Талкис», но во время войны сделать это оказалось невозможно.

Трудности возникают исключительно в тех случаях, когда n — простое число. При n = 2 мы получаем простое число 11. Для n = 3, 5, 11 и 13 делители соответственно равны (3 × 37), (41 × 271), (21 649 × 513 239) и (53 × 79 × 265 371 653). В этой книге я привел уже делители для n = 7 и 17. Делители в случаях n = 19, 23 и 37 неизвестны, если они вообще имеются[32]. При n = 29 делителями будут (3191 × 16 763 × 43 037 × 62 003 × 77 843 × 839 397); при n = 31 одним из делителей будет 2791; при n = 41 два делителя имеют вид (83 × 1231).

Что же касается четных и, то следующая любопытная последовательность сомножителей, несомненно, заинтересует читателя. Числа в скобках — простые.

Или мы можем записать делитель иначе:

В приведенных выше двух таблицах n имеет вид 4m + 2. Когда n имеет вид 4m, делители можно записать следующим образом:

[33]

При n = 2 мы получаем простое число 11; при n = 3 делителями будут 3 × 37; при n = 6 они имеют вид 11 × 3 × 37 × 7 × 13; при n = 9 получается 3² × 37 × 333 667. Следовательно, мы знаем, что делителями при n = 18 будут 11 × 32 × 37 × 7 × 13 × 333 667, тогда как остающийся множитель — составной и может быть представлен в виде 19 × 52 579. Это показывает, как можно упростить работу в случае составного n.