Живая математика. Математические рассказы и головоломки - [9]
Прочие орехи остаются на тарелке.
Когда все это проделано и вам дан сигнал возвратиться, вы, входя в комнату, бросаете взгляд на тарелку и объявляете, у кого в кармане какая вещь.
Фокус тем более озадачивает, что выполняется без участия тайного сообщника, подающего вам незаметные сигналы. В нем нет никакого обмана: он целиком основан на арифметическом расчете. Вы разыскиваете обладателя каждой вещи единственно лишь по числу оставшихся орехов. Остается их на тарелке немного - от 1 до 7, и счесть их можно одним взглядом.
Как же, однако, узнать по остатку орехов, кто взял какую вещь?
Очень просто: каждому случаю распределения вещей между товарищами отвечает иное число остающихся орехов. Мы сейчас в этом убедимся.
Пусть имена ваших товарищей Владимир, Георгий, Константин; обозначим их начальными буквами: В, Г, К Вещи также обозначим буквами: карандаш - а, ключ - Ь, нож - с. Как могут три вещи распределиться между тремя обладателями? На 6 ладов:
Других случаев, очевидно, быть не может; наша табличка систематически исчерпывает все комбинации.
Посмотрим теперь, какие остатки отвечают каждому из этих 6 случаев:
Вы видите, что остаток орехов всякий раз получается иной. Поэтому, зная остаток, вы легко устанавливаете, каково распределение вещей между вашими товарищами. Вы снова - в третий раз - удаляетесь из комнаты и заглядываете там в свою записную книжку, где записана сейчас воспроизведенная табличка (собственно, нужны вам только первая и последняя графы); запомнить ее наизусть трудно, да и нет надобности. Табличка скажет вам, в чьем кармане какая вещь. Если, например, на тарелке осталось 5 орехов, то это означает (случай b, с, а), что
ключ - у Владимира;
нож - у Георгия;
карандаш - у Константина.
Чтобы фокус удался, вы должны твердо помнить, сколько орехов вы дали каждому товарищу (раздавайте орехи поэтому всегда по алфавиту, как и было сделано в нашем случае).
Глава вторая МАТЕМАТИКА В ИГРАХ
ДОМИНО
Почему 28 костей домино можно выложить с соблюдением правил игры в одну непрерывную цепь?
Когда 28 костей домино выложены в цепь, на одном ее конце оказалось 5 очков.
Сколько очков на другом конце?
Ваш товарищ берет одну из костей домино и предлагает вам из остальных 27 составить непрерывную цепь, утверждая, что это всегда возможно, какая бы кость ни была взята. Сам же он удаляется в соседнюю комнату, чтобы не видеть вашей цепи.
Вы приступаете к работе и убеждаетесь, что товарищ ваш прав: 27 костей выложились в одну цепь. Еще удивительнее то, что товарищ, оставаясь в соседней комнате и не видя вашей цепи, объявляет оттуда, какие числа очков на ее концах.
Как может он это знать? И почему он уверен, что из всяких 27 костей домино составится непрерывная цепь?
Рис. 9 изображает квадратную рамку, выложенную из костей домино с соблюдением правил игры. Стороны рамки равны по длине, но не одинаковы по сумме очков: верхний и левый ряды заключают по 44 очка, остальные же два ряда - 59 и 32.
Рис. 9. Рамка из домино
Можете ли вы выложить такую квадратную рамку, все стороны которой заключали бы одинаковую сумму очков - именно 44?
Четыре кости домино можно выбрать так, чтобы из них составился квадратик с равной суммой очков на каждой стороне. Образчик вы видите на рис. 10: сложив очки на каждой стороне квадратика, во всех случаях получите 11.
Рис. 10
Рис. 11. Магический квадрат из домино
Можете ли вы из полного набора домино составить одновременно семь таких квадратов? Не требуется, чтобы сумма очков на одной стороне получалась у всех квадратов одна и та же; надо лишь, чтобы каждый квадрат имел на своих четырех сторонах одинаковую сумму очков.
На рис. 11 показан квадрат из 18 косточек домино, замечательный тем, что сумма очков любого его ряда - продольного, поперечного или диагонального - одна и та же: 13. Подобные квадраты издавна называются «магическими».
Вам предлагается составить несколько таких же 18-косточковых магических квадратов, но с другой суммой очков в ряду.
13 - наименьшая сумма в рядах магического квадрата, составленного из 18 костей. Наибольшая сумма - 23.
Вы видите на рис. 12. шесть косточек домино, выложенных по правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках (на двух половинах каждой косточки) возрастает на 1: начинаясь с 4, ряд состоит из следующих чисел очков:
4; 5; 6; 7; 8; 9.
Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. В нашем ряду каждое число больше предыдущего на 1; но в прогрессии может быть и любая другая «разность».
Рис. 12. Прогрессия на костяшках домино
Задача состоит в том, чтобы составить еще несколько 6-косточковых прогрессий.
ИГРА В «15», или ТАКЕН
Общеизвестная коробочка с 15 нумерованными квадратными шашками имеет любопытную историю, о которой мало кто из игроков подозревает. Расскажем о ней словами немецкого исследователя игр - математика В. Аренса.
«Около полувека назад - в конце 70-х годов - вынырнула в Соединенных Штатах игра в «15»; она быстро распространилась и, благодаря несчетному числу усердных игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие.
