Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики - [31]

круглым; и как бы мы тщательно ни применяли наш циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени несовершенными и неправильными. Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Чистая математика также льет воду на мельницу мистических доктрин об отношении времени к вечности, ибо математические объекты, например числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы как мысли бога. Отсюда платоновская доктрина, согласно которой бог является геометром, а также представление сэра Джемса Джинса о том, что бог предается арифметическим занятиям»[10]. Здесь обрисован один из источников разбираемой философской установки. Дальнейшие мы укажем ниже.

Проследим, в чем выражался не «общий» платонизму о котором говорит Рассел в приведенном отрывке, а именно математический платонизм. Эта разновидность платонизма очень четко проявилась в следующих словах одного из виднейших математиков прошлого века — Шарля Эрмита (1822—1901): «Я верю, что числа и функций анализа не являются произвольным созданием нашего разума; я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем идя их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи»[11]. Эти слова означают, что числа и функции похожи не на приборы и инструменты, — скажем, на счетчик Гейгера или масс-спектограф Астона, которые придумали люди» а на виды растений или животных, скажем, на баобаб или кенгуру, которые существуют фактически, независимо от желания человека от знания человека об их существовании и которые человек со временем лишь обнаруживает.

Первая причина таких представлений указана Расселом — это впечатление вечности, неизменности и совершенства, которое производят математические объекты. Ключ к пониманию второй причины содержится в приведенной цитате из Эрмита, в его словах «существуют в силу необходимости». Смысл, который обычно вкладывается в эти слова, достаточно прост. Если мы, скажем, возводим двойку в десятую степень, то получаем число 1024 абсолютно независимо от нашего желания — необходимым образом; значит, тот факт, что 2¹⁰ = 1024, имел место и до того как мы начали вычисление, и даже до того как появились люди на Земле. Возьмем другой, более «научный» пример. В свое время перед математиками стояла задача о решении общего уравнения третьей степени, но попытки справиться с ней не увенчивались успехом. Наконец, в 1545 году Джироламо Кардано (1501—1576) в упоминавшейся уже нами (с. 34) работе «Великое искусство...» изложил (открытый ранее Н. Тартальей) метод нахождения корней произвольного кубического уравнения[12]. Проблема была закрыта.

Поставим вопрос: существовали ли корни у произвольного кубического уравнения до Тартальи и Кардано? По-видимому, в каком-то смысле, да, ибо если бы он их «изобрел», то почему они обладают именно данными свойствами и не могут обладать свойствами, несовместимыми с установленными этими математиками?

Как мы видим, ситуация не так проста, как может показаться на первый взгляд. В XIX столетии, когда математические работы полились рекой, ощущение «открывания» стало особенно сильным и сказалось на математическом мировоззрении.

Работая изо дня в день с числами, функциями и уравнениями, любой математик всегда воспринимает их как внешнюю данность. Для «математического платоникам эта данность становится абсолютной. Но, как ни странно, на определенном этапе развития науки эта разновидность догматизма сыграла свою положительную роль. На это обратил внимание уже цитировавшийся нами Ласло Кальмар, который указал на то, что «платонистская» объективизация математических идей «защищала их от отторжения здравым смыслом как иллюзорных и стимулировала развитие математики до той поры, пока математики и философы не смогли лучше понять сущность — и пользу абстракции»[13].

К тому времени, когда была создана теория дедекиндовых сечений, точка зрения математиков на то, какие объекты в их науке более всех «существуют сами по себе», вырисовалась совершенно отчетливо. Математики по молчаливому соглашению выделили главную «платоновскую идею» - математический объект, занявший в иерархии рассматриваемых ими существований центральное положение. Этим объектом стало «множество». В математической науке наступила эпоха теоретико-множественного мышления.

Действительно, «множественный» подход пронизывал теорию Дедекинда. Теория сечений становится убедительным определением действительных чисел, если идея множества — неважно, конечного, бесконечного, построенного фактически или только обрисованного самыми общими словами, представляется чем-то абсолютно ясных, конкретно данным и существующим в той же мере, в какой существует написанная на бумаге буква; ибо она сводит действительные числа к двум классам сечения, а классы — это множества, мыслимые как некие единичные «вещи».