Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики - [28]
Сразу же после своего появления анализ показал себя как исключительно мощный по своим возможностям инструмент. Это могущество метода так увлекло математиков, что они стали интенсивно расширять круг задач, решаемых анализом, и совершенствовать его формулы, способные, казалось, описывать и обсчитывать все на свете. Расширение сферы приложений анализа и увеличение его популярности заставляло наиболее вдумчивых математиков ставить задачу его обоснования, не зависящего от приложений геометрического или механического характера[2]. Внутренняя логика развития этой дисциплины ставила вопрос о строгости ее методов — проблему, над которой в первой четверти XIX века работали Б. Больцано и О. Коши и которая занимала умы таких великих математиков, как К. Ф. Гаусс и Н. Г. Абель.
Специалисты того времени по-разному относились к работам по логическому усовершенствованию теоретической части анализа. Конечно, математики не сомневались, что методы анализа дают адекватные результаты, но некоторых из них особенно сильно беспокоило желание установить «согласованность» всей системы его утверждений, то есть его «логическую прочностью. Они считали, что непогрешимость анализа должна быть не такой вещью, в которую приходится верить и которая подтверждается лишь косвенно — безупречной работой аппарата, а такой, которую можно доказать рассуждением. Ответом на эту потребность явился ряд теорий действительного числа — Р. Дедикинда, К. Вейерштрасса и Г. Кантора.
Действительные числа — основной объект анализа, поэтому последний нельзя считать логически совершенным, пока не установлена полная ясность в отношении понятия действительного числа. Понятие натурального числа представлялось тогда вполне ясным. Из натуральных чисел легко получаются рациональные числа — дроби. Но иррациональные числа — главную составляющую действительных чисел — определить уже значительно труднее. К. Вейерштрасс (1815—1897) разработал теорию действительных чисел, из которой вытекало, что их можно определить как бесконечные десятичные дроби. Если такая дробь является периодической (например, 0,333...), она отождествляется с рациональным числом (в нашем примере это 1/3)[3], если не периодической — то с числом иррациональным; таковы, скажем, известные числа π и е, отождествляемые соответственно с бесконечными непериодическими десятичными дробями 3,1415926546... и 2,7182818289...
В обоих случаях мы выписали по десять знаков после запятой, поставив затем многоточие; последнее ясно показывает, какую роль в данной теории играет бесконечность: она заложена в самих объектах, возникающих в теории. Вейерштрассовское действительное число — если оно иррационально — нельзя написать на бумаге: не хватит ни бумаги, ни человеческой жизни[4].
Многие математики (Л. Кронекер и др.) видели в этом серьезный дефект теории Вейерштрасса, но, она все же прочно вошла в учебники анализа, ибо, как отметил Е. Т. Белл, «она работала»[5].
Более интересной для нас является теория действительных чисел Дедекинда[6]. Он придал иррациональным числам совершенно новый смысл, определив их как сечение в области рациональных чисел. Подход Дедекинда состоял в следующем.
Ясно, что любое множество можно разбить на два под множества таким образом, что объединение подмножеств будет совпадать со всем множеством и каждый элемент последнего попадет в одно и только одно из подмножеств. Такое разбиение со времен античности называют дихотомией (буквально: «сечение на две части»). Произведем дихотомию множества всех рациональных чисел так, что в результате получатся два непустых подмножества, находящихся в следующем отношении: каждое число какого-то одного из них меньше любого числа другого. Систему из таких двух подмножеств множества всех рациональных чисел Дедекинд назвал сечением в области рациональных чисел; первое из них образует левый класс, второе — правый класс сечения.
Приведем пример сечения. Левый класс — все отрицательные рациональные числа, правый класс — нуль и все положительные рациональные числа. Очевидно, что мы имеем здесь сечение в дедекиндовом смысле, так как каждое рациональное число войдет либо в первый, либо во второй класс (но не в оба сразу), ни один из классов не пуст, любое отрицательное число меньше нуля и каждого из положительных чисел.
Оказывается, над сечениями можно производить операции. Возьмем два каких-нибудь сечения, например следующие. В первом — его мы обозначим через С1 - левый класс (назовем его А1) образуют все рациональные числа, меньшие единицы, правый (В1) —не меньшие единицы. Во втором сечении (С2) левый класс (А2) образован всеми рациональными числами, меньшими двойки, а правый (В2) остальными рациональными числами. После этого зададим следующее разбиение множества всех рациональных чисел на два подмножества: к первому отнесем все числа, которые могут быть представлены суммой двух слагаемых — числа из множества А1 и числа из множества А2 ко второму — все числа, которые представимы в виде суммы числа из множества В1 и числа из множества В2. Будет ли это разбиение сечением?
Нетрудно видеть, что будет. Оба рассматриваемых подмножества не пусты; поскольку первое слагаемое одной суммы меньше первого слагаемого другой суммы и то же относится ко вторым слагаемым, то и первая сумма меньше второй суммы. Можно показать, что выполнено и требование того, чтобы каждое рациональное число обязательно попадало в какое-то одно, и только одно, из двух подмножеств. Итак, разбиение, построенное указанным способом по двум заданным сечениям, есть тоже сечение. Его называют
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Бирюков Борис Владимирович — доктор философских наук, профессор, руководитель Межвузовского Центра изучения проблем чтения (при МГЛУ), вице-президент Русской Ассоциации Чтения, отвечающий за её научную деятельность.Сфера научных интересов: философская логика и ее история, история отечественной науки, философия математики, проблемы оснований математики. Автор и научный редактор более пятисот научных трудов, среди них книги, входящие в золотой фонд отечественной историко-научной и логической мысли. Является главным научным редактором и вдохновителем научного сборника, издаваемого Русской Ассоциацией Чтения — «Homo legens» («Человек читающий»).
Новая книга В.Н. Тростникова, выходящая в издательстве «Грифон», посвящена поискам ответов на судьбоносные вопросы истории России.За последнее десятилетие мы восстановили и частную собственность, и свободу слова, ликвидировали «железный занавес»… Но Запад по-прежнему относится к нам необъективно и недружественно.Ожесточаться не нужно. Русские – самый терпеливый народ в мире, и мы должны перетерпеть и несправедливое отношение к себе Запада. Ведь придёт час, когда Запад сам поймёт необходимость заимствовать у нас то, что он потерял, а мы сохранили, – Христа.Книга рассчитана на широкий круг читателей.
Автор книги – известный религиозный философ – стремится показать, насколько простая, глубокая и ясная вещь «настоящая философия» – не заказанное напористой и самоуверенной протестантской цивилизацией её теоретическое оправдание, а честное искание Истины – и как нужна такая философия тем русским людям, которые по своей натуре нуждаются в укреплении веры доводами разума.В форме увлекательных бесед показаны не только высоты и бездны европейской философии, но и значительные достижения русской философской школы, уходящей своими корнями в православное мировосприятие.
Виктор Николаевич Тростников (род. 1928 г.), писатель, ученый, философ. Профессор Российского Православного Университета им. св. Иоанна Богослова. Автор более ста работ по различным разделам физики и математики, а также книг по научной апологетикеКнига содержит размышления автора об опыте осмысления Вечных Истин в свете современного знания.
Цель «Трактата о любви» В.Н. Тростникова – разобраться в значении одного-единственного, но часто употребляемого нами слова «любовь». Неужели этому надо посвящать целое исследование? Да, получается так, потому что слово-то одно, а значений у него много. Путь истинной любви обрисован увлекательно, понятно и близко молодому и просвещенному современному читателю, который убедится, что любовь в ее высшем проявлении есть любовь к Богу. Это книга – для всех любящих сердец.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.