Защити свой компьютер на 100% от вирусов и хакеров - [32]

♦ S1 и S2 принимают к использованию два больших целых числа a и b, причем 1 < a < b.

♦ S1 выбирает случайное число i и вычисляет I = ai × mod b. S1 передает I абоненту S2.

♦ S2 выбирает случайное число j и вычисляет J = aj × mod b. S2 передает J абоненту S1 .

♦ S1 вычисляет k1 = Ji × mod b.

♦ S2 вычисляет k2 = Ij × mod b.

Имеем k1 = k2 = ai × j х mod b, следовательно, k1 и k2 являются секретными ключами, предназначенными для использования при передаче других данных.

Даже если допустить, что злоумышленнику каким-то образом удастся прослушать передаваемый трафик, то ему будут известны a, b, I и J. Тем не менее остаются в секрете i и j. Уровень безопасности системы зависит от сложности нахождения i при известном I = ai × mod b. Эта задача называется задачей дискретного логарифмирования и считается очень сложной (то есть с помощью современного вычислительного оборудования ее решить практически невозможно), если числа очень велики. Следовательно, a и b необходимо выбирать очень тщательно. Например, оба числа b и (b – 1)/2 должны быть простыми и иметь длину не менее 512 бит. Рекомендуемая длина чисел составляет 1024 бита.

Алгоритм RSA был разработан в 1978 году тремя соавторами и получил свое название по первым буквам фамилий разработчиков (Rivest, Shamir, Adleman). В основе стойкости алгоритма стоит сложность факторизации больших чисел и вычисления дискретных логарифмов. Основной параметр алгоритма RSA – модуль системы N, по которому проводятся все вычисления в системе, а N = R х S (R и S – секретные случайные простые большие числа, обычно одинаковой размерности).

Секретный ключ k2 выбирается случайным образом и должен соответствовать следующим условиям: 1 < k2 < F(N) и НОД (k2, F(N))= 1, где НОД – наибольший общий делитель. Иными словами, k1 должен быть взаимно простым со значением функции Эйлера F(N) , причем последнее равно количеству положительных целых чисел в диапазоне от 1 до N, взаимно простых с N, и вычисляется как F(N) = (R – 1) × (S – 1) .

Открытый ключ kl вычисляется из соотношения (k2 х kl) = 1 × mod F(N). Для этого используется обобщенный алгоритм Евклида (алгоритм вычисления наибольшего общего делителя). Зашифровка блока данных M по алгоритму RSA выполняется следующим образом: C = Mkl × mod N. Поскольку в реальной криптосистеме с использованием RSA число k1 весьма велико (в настоящее время его размерность может доходить до 2048 бит), прямое вычисление Mk1 нереально. Для его получения применяется комбинация многократного возведения M в квадрат с перемножением результатов. Обращение данной функции при больших размерностях неосуществимо; иными словами, невозможно найти M по известным C, N и kl. Однако, имея секретный ключ k2, при помощи несложных преобразований можно вычислить M = Ck2 ×  mod N. Очевидно, что, помимо собственно секретного ключа, необходимо обеспечивать секретность параметров R и S. Если злоумышленник добудет их значения, то сможет вычислить и секретный ключ k2.

В настоящее время криптосистема RSA применяется в самых различных продуктах, на различных платформах и во многих отраслях. Достаточно вспомнить ее использование в операционных системах Microsoft, Apple, Sun и Novell, чтобы представить всю "грандиозность" RSA. В аппаратной составляющей алгоритм RSA широко используется в защищенных телефонах, на сетевых платах Ethernet, на смарт-картах, в криптографическом оборудовании Zaxus (Racal). Ко всему прочему, алгоритм входит в состав всех основных протоколов для защищенных коммуникаций Интернет, в том числе S/MIME, SSL и S/WAN, а также используется во многих правительственных учреждениях, государственных лабораториях и университетах. На осень 2000 года технологии с применением алгоритма RSA были лицензированы более чем 700 компаниями.

Алгоритм Эль-Гамаля. Эль-Гамаль (Taher Elgamal) разработал вариант системы Диффи—Хеллмана. Он усовершенствовал этот алгоритм и получил один алгоритм для шифрования и один для обеспечения аутентификации. Алгоритм Эль-Гамаля не был запатентован (в отличие от RSA) и таким образом стал более дешевой альтернативой, так как не требовалась уплата лицензионных взносов. Поскольку этот алгоритм базируется на системе Диффи—Хеллмана, то его стойкость обеспечивается сложностью решения все той же задачи дискретного логарифмирования.

Алгоритм цифровой подписи (Digital Signature Algorithm). Алгоритм DSA был разработан правительством США как стандартный алгоритм для цифровых подписей (см. разд. 2.3). Данный алгоритм базируется на системе Эль-Гамаля, но позволяет осуществлять только аутентификацию. Конфиденциальность этим алгоритмом не обеспечивается.

Шифрование с использованием эллиптических кривых. Эллиптические кривые были предложены для использования в системах шифрования в 1985 году. Системы шифрования с использованием эллиптических кривых (ECC) основываются на отличной от факторизации или дискретного логарифмирования математической задаче. Данная задача заключается в следующем: имея две точки A и B на эллиптической кривой, такие что A = kB, очень трудно определить целое число k. Несмотря на некоторую «экзотичность», использование ECC перед алгоритмом RSA или Диффи—Хеллмана в ряде случаев дает существенное преимущество. Самым большим из таких преимуществ является то, что ключи могут иметь существенно меньшую длину (по причине сложности задачи). И это без потери стойкости! Как результат, вычисления производятся быстрее с сохранением того же уровня безопасности. Так, безопасность, обеспечиваемая 160-битным ключом ECC, может быть приравнена к 1024-битному ключу RSA.