Западная философия XX века - [131]

Муру не удалось решить эти вопросы, но он их поставил. Уорнок говорит, что Мур способствовал возникновению идеи о том, что дело философии — прояснение, а не открытие; что она занимается значением, а не истиной, что ее предмет — наши мысли или язык, скорее, чем факты.

По словам Рассела, Мур оказал на него освобождающее воздействие. Но роль самого Рассела была еще более значительной. Рассел был одним из тех ученых, которые разработали ту логическую технику, которой воспользовались неопозитивисты. К Расселу восходит и идея сведения философии к логическому анализу. А пришел он к ней в результате исследований логических основ математики и математической логики.

Дело в том, что в XIX в. математика переживала период чрезвычайно быстрого и, в известном смысле, революционного развития. Были сделаны поразительные открытия, которые перевернули многие привычные представления. Достаточно назвать создание неевклидовых геометрий Лобачевским, Бойяйи. Риманом; работы по теории функции Вейерштрасса, теорию множеств Кантора. Одна из особенностей всех этих исследований состояла в том, что их результаты пришли в разительное противоречие с чувственной интуицией, с тем, что кажется интуитивно достоверным. Действительно, со времен Евклида мы были убеждены в том, что из данной точки к данной прямой можно провести только одну параллельную линию. Лобачевский показал, что это не так.

Все думали, что к любой кривой линии можно провести касательные. Вейерштрасс дал уравнение кривой, к которой невозможно провести касательную. Интуитивно, наглядно мы не можем представить себе такую кривую, но чисто логическим путем можно исследовать ее свойства.

Мы всегда думали, что целое больше части. Это положение казалось аксиомой и нередко приводилось как пример абсолютной истины. А вот Кантор показал, что в случае бесконечного множества это положение не работает.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10… - натуральный ряд чисел

1 4 9 16 25 36 49… - ряд квадратов

Оказалось, что квадратов в бесконечном ряду столько же, сколько и натуральных чисел, так как под каждым натуральным числом можно подписать его квадрат, или каждое натуральное число можно возвести в квадрат. Поэтому Кантор определил бесконечное множество, как имеющее части, содержащие столько же членов, как и все множество.

Все эти открытия потребовали гораздо более глубокого исследования и обоснования логических основ математики и перестройки нашего мышления. В прошлом математики охотно обращались к интуиции, к наглядному представлению и не только при формулировании исходных определений и аксиом, но и при доказательстве теорем. Так обстоит дело, в частности, у Евклида. Теперь оказалось, что интуиции далеко не всегда можно безоговорочно доверять. Были обнаружены серьезные логические промахи в самих «Началах Евклида».

Кроме того, математика в новое время развивалась настолько быстро, что сами математики не успевали осмыслить свои открытия. Они пользовались новыми методами, потому что те давали хорошие результаты, но не всегда заботились об их строгом логическом обосновании. Оказалось, что математика пользуется некоторыми весьма неясными понятиями. Так называемое исчисление бесконечно малых блестяще себя оправдало, но, что такое «бесконечно малая величина», никто толком сказать не мог.

Больше того, оказалось, что определить предмет математики, указать, чем именно она занимается, невероятно трудно. Старое традиционное определение математики, как науки о количестве, было признано неудовлетворительным. Б. Пирс определил математику как «науку, которая выводит необходимые заключения». Гамильтон и Де-Морган — как «науку о чистом пространстве и времени». Дело кончилось тем, что Рассел дал свою парадоксальную характеристику математике, сказав, что это «доктрина, в которой мы никогда не знаем, ни о чем мы говорим, ни верно ли то, что мы говорим».

Таким образом, во второй половине XIX века, и особенно к концу его, была осознана необходимость уточнить фундаментальные понятия математики и прояснить ее логические основания. В то же время были сделаны успешные попытки применить методы математики к логике. Усилиями Буля, Пирса, Де Моргана, Шредера, Порецкого была разработана «алгебра логики», эта первая форма математической, или символической логики. В свою очередь методы символической логики были применены к анализу основ математики. В результате были сделаны попытки строгой формализации арифметики (Фреге, Пеано, затем Уайтхед и Рассел) и геометрии (Гильберт, Веблен).

Формализация означает такое построение арифметики (или другой науки), при котором принимаются некоторые основные понятия определения, положения (аксиомы) и правила выведения из них других положений. Строгость определения понятий исключает возможность неточностей, а соблюдение правил должно (по идее) обеспечить возможность непротиворечивого выведения всех предложений (или формул) данной системы.

Поскольку задача состояла в формализации и аксиоматизации уже давно сложившихся наук, естественно, что при этом можно было рассматривать их как готовое наличное знание и искать в них одну лишь логическую форму, совершенно отвлекаясь от вопроса о происхождении их понятий и принципов, от отношения их к эмпирической реальности, от их интуитивного содержания. Поэтому в «Основах геометрии» Гильберта мы находим очень мало чертежей и фигур.