Занимательная физика. Книга 1 - [44]

на границе обоих родов почвы и притом так, чтобы путь по лугу составлял с перпендикуляром к границе больший угол, чем путь по песчаной почве.

Кто знаком с геометрией, именно с теоремой Пифагора, тот может проверить, что прямой путь AC действительно не является путем скорейшим и что при тех размерах для ширины полос и расстояний, которые мы здесь имеем в виду, можно скорее достичь цели, если направиться, например, по ломаной АЕС (рис. 111).

На рис. 110 указано, что ширина песчаной полосы 2 км, луговой — 3 км, а расстояние ВС — 7 км. Тогда вся длина AC (рис. 111) равна, по теореме Пифагора, корень(52 + 72) = корень(74) = 8,60 км. Часть AN — путь по песку — этого отрезка составляет, как легко сообразить, 2/5 этой величины, т. е. 3,44 км. Так как по песку движение происходит вдвое медленнее, чем по лугу, то 3,44 км песчаного пути равнозначны, в смысле требуемого времени, 6,88 км по лугу. И, следовательно, весь смешанный путь по прямой АС, равный 8,60 км, соответствует 12,04 км пути по лугу.

Сделаем такое же «приведение к лугу» и для ломаного пути АЕС. Часть АЕ = 2 км и соответствует 4 км пути по лугу. Часть ЕС = корень(32 + 72) = корень(58) = 7,61 км. Итого весь ломаный путь AEC отвечает 4 + 7,61 = 11,61 км.

Итак, «короткий» прямой путь соответствует 12,04 км движения по лугу, а «длинный» ломаный — всего только 11,61 км по той же почве. «Длинный» путь, как видите, дает выгоду в 12,04–11,61 = 0,43, почти в полкилометра!

Но мы не указали еще самого быстрого пути. Быстрейший путь, как учит теория, будет тот, при котором (нам придется здесь обратиться к услугам тригонометрии) синус угла b относится к синусу угла A, как скорость на лугу относится к скорости на песке, т. е. как 2:1. Другими словами, нужно выбрать направление так, чтобы sin b был вдвое больше sin а. Для этого нужно перешагнуть границу между полосами в такой точке m, которая находится в одном километре от Е. Действительно, тогда sin b = 6/(корень(32 + 62)), sin a = 1/(корень(1 + 22)), отношение sin b/sin a = (6/корень(45))/(1/ (3*корень(5))) = (6/(3*корень(5)))/(1/корень(5)) = 2, т. е. как раз отношению скоростей.

А какова будет в таком случае «приведенная к лугу» длина пути? Вычислим: AM = корень(22 + 12), что отвечает 4,47 км пути по лугу. МС = корень(45) = 6,71 км. Длина всего пути 4,47 + 6,71 = 11,18, т. е. на 860 км короче прямолинейного пути, который, как мы уже знаем, соответствует 12,04 км.

Вы видите, какие выгоды доставляет при данных условиях изламывание пути. Световой луч как раз и избирает такой скорейший путь, потому что закон преломления света строго удовлетворяет требованию математического решения задачи: синус угла преломления относится к синусу угла падения, как скорость света в новой среде к скорости его в покидаемой среде; с другой стороны, это отношение равно показателю преломления света в указанных средах.

Объединяя в одно правило особенности и отражения и преломления, мы можем сказать, что световой луч во всех случаях следует по быстрейшему пути, т. е. подчиняется правилу, которое физики называют «принципом скорейшего прихода» (принцип Ферма).

Если среда неоднородна и ее преломляющая способность меняется постепенно, как, например, в нашей атмосфере, то и в таком случае вполне осуществляется быстрейший приход. Этим объясняется то небольшое искривление лучей небесных светил в атмосфере, которое на языке астрономов называется «атмосферной рефракцией». В атмосфере, постепенно уплотняющейся книзу, луч света изгибается так, что вогнутость его обращена к Земле. Тогда луч остается дольше в высоких слоях, которые слабее замедляют его путь, и проводит меньше времени в «медленных» низких слоях, в итоге он приходит к цели быстрее, чем по пути строго прямолинейному.

Принцип быстрейшего прихода (принцип Ферма) справедлив не для одних лишь световых явлений: ему в полной мере подчиняется также распространение звука и всех вообще волнообразных движений, какова бы ни была природа этих волн.

Читатель, без сомнения, желал бы узнать, чем объясняется это свойство волнообразных движений. Приведу поэтому относящиеся сюда соображения, высказанные выдающимся современным физиком Шредингером [В докладе, прочитанном в Стокгольме при получении Нобелевской премии (в 1933 г.)]. Он исходит из знакомого уже нам примера марширующих солдат и имеет в виду случай движения светового луча в среде постепенно изменяющейся плотности.

«Пусть, — пишет он, — для того, чтобы сохранить строгую правильность фронта, солдаты соединены длинным шестом, который каждый из них крепко удерживает в руках. Команда гласит: всем бежать возможно быстрее! Если характер почвы медленно меняется от точки к точке, то сначала, скажем, правое, а позднее левое крыло фронта будет подвигаться быстрее — и поворот фронта осуществится сам собой. Мы заметим при этом, что пройденный путь — не прямолинейный, а искривленный. То, что путь этот строго совпадает с кратчайшим в смысле времени прибытия в данный пункт при заданных свойствах почвы, — довольно понятно, так как ведь каждый солдат старался подвигаться как можно быстрее».