Загадки и диковинки в мире чисел - [11]
«Второй способ деления называется в Венеции [13] лодкой или галерой, вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других на галеру, которая в самом деле красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями – выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами»…
Читается это очень весело: так и настраиваешься скользить по числовому морю на парусах арифметической галеры. Но хотя старинный итальянский математик и рекомендует этот способ как – «самый изящный, самый легкий, самый верный, самый употребительный и самый общий из существующих, пригодный для деления всех возможных чисел», – все же я не решаюсь его изложить здесь, опасаясь, что даже терпеливый читатель закроет книгу в этом скучном месте и не станет читать дальше. Между тем этот утомительный способ действительно был самым лучшим в ту эпоху, а у нас в России употреблялся до середины XVIII века: в «Арифметике» Магницкого он описан в числе шести предлагаемых там способов (из которых ни один не похож на современный) и особенно рекомендуется автором; Магницкий на протяжении своей объемистой книги – 640 страниц огромного формата – пользуется исключительно «способом галеры», хотя и не употребляет этого наименования.
В заключение покажем читателю эту числовую «галеру», воспользовавшись примером из упомянутой книги Тартальи:
Мудрый обычай старины
Добравшись после утомительных трудов до желанного конца арифметического действия, предки наши считали необходимым непременно проверить этот в поте лица добытый итог. Громоздкие приемы вызывали естественное недоверие к их результатам. На длинном, извилистом пути легче заблудиться, чем на прямой дороге современных приемов. Отсюда естественно возник старинный обычай проверять каждое выполняемое арифметическое действие – похвальное правило, следовать которому не мешало бы и нам.
Любимым приемом проверки был так называемый способ 9, – очень изящный прием, который полезно и теперь знать каждому. Он нередко описывается в современных арифметических учебниках, особенно иностранных, но почему-то теперь малоупотребителен на практике, что, впрочем, не умаляет его достоинств.
Проверка девяткой основана на «законе остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число; точно так же, остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также [14] , что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает 2, и столько же получается в остатке от деления (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба свойства чисел, мы и приходим к приему проверки девяткой, т. е. делением на 9.
Пусть требуется проверить правильность сложения следующего столбца:
Составляем в уме сумму цифр каждого слагаемого, причем в получающихся числах также складываем цифры (это делается в самом процессе сложения цифр), пока, в конечном результате, не получим однозначного числа. Результаты эти (остатки от деления на 9) записываем, как показано на примере, рядом с соответствующим слагаемым. Складываем все остатки – получаем 8. Такова же должна быть сумма цифр итога (5339177), если действие выполнено верно: 5 + 3 + 3 + 9+1 + 7 + 7 после всех упрощений, равно 8 (точнее: «равноостаточно с 8»).
Проверка вычитания выполняется точно так же, если принять уменьшаемое за сумму, а вычитаемое и разность – за слагаемое. Например:
4 + 6 = 10, т. е. 1.
Не сложна и проверка умножения, как видно из следующего примера:
Если при такой проверке умножения обнаружена будет ошибочность результата, то, чтобы определить, где именно ошибка находится, можно проверить способом девятки каждое частное произведение отдельно; а если здесь ошибки не окажется, надо проверить еще и сложение частных произведений. Такая проверка сберегает время и труд, конечно, только при умножении многозначных чисел; при малых числах проще заново выполнить действие.
Проверка деления по этому способу требует маленького пояснения. Если имеем случай деления без остатка, то проверка производится, как и при умножении: делимое рассматривается как произведение делителя на частное. В случае же деления с остатком пользуются тем, что делимое = делителю × частное + остаток. Например:
В «Арифметике» Магницкого предлагается для проверки девяткой следующее удобное расположение:
Для умножения:
Для деления:
Подобная проверка, без сомнения, не оставляет желать лучшей в смысле быстроты и удобства. Нельзя сказать того же о ее надежности: ошибка может и ускользнуть от нее. Действительно, ведь одну и ту же сумму цифр могут иметь разные числа; поэтому не только перестановка цифр, но иной раз даже и замена одних цифр другими остаются при такой проверке необнаруженными. Укрываются от контроля также лишние девятки и нули, так как они не влияют на сумму цифр. Всецело полагаться поэтому на такой прием проверки было бы неосмотрительно. Предки наши сознавали это и не ограничивались одною лишь проверкой с помощью девятки, но производили еще дополнительную проверку – чаще всего с помощью семерки. Этот прием основан на том же «правиле остатков», но не так удобен, как «способ девятки», потому что деление на 7 приходится выполнять полностью, чтобы найти остатки (причем легко возможны ошибки в действиях самой проверки). Две проверки – девяткой и семеркой – уже являются гораздо более надежным контролем: что ускользнет от одной проверки, то будет уловлено другою. Ошибка не обнаружится лишь в том случае, если разность истинного и полученного результатов кратна числу 7 × 9 = 63. Так как это все же случайно возможно, то и двойная проверка не может дать полной уверенности в правильности результата. Впрочем, для обычных вычислений, где ошибаются чаще всего на 1 или на 2 единицы, можно ограничиться только проверкою девяткой. Дополнительная проверка семеркой чересчур обременительна. Всякий контроль хорош только тогда, когда не мешает работе.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Книга написана известным популяризатором и педагогом и содержит парадоксы, головоломки, задачи, опыты, замысловатые вопросы и рассказы из области физики. Книга по характеру изложения и по объему знаний, предполагаемых у читателя, рассчитана на учащихся средней школы и на лиц, занимающихся самообразованием в таком же объеме.
В книгу Якова Перельмана «Головоломки и развлечения» вошли занимательные задачи, опыты, рассказы и игры, помогающие проверить свои знания по математике и физике. Здесь встретятся задачи о часах, числовые головоломки, развлечения со спичками и магические квадраты, сумма чисел сторон которых удивляла астрологов и алхимиков древности и обладала, по их мнению, волшебными свойствами. Для среднего школьного возраста.
Настоящая книга, написанная выдающимся популяризатором науки Я.И.Перельманом, знакомит читателя с отдельными вопросами астрономии, с ее замечательными научными достижениями, рассказывает в увлекательной форме о важнейших явлениях звездного неба. Автор показывает многие кажущиеся привычными и обыденными явления с совершенно новой и неожиданной стороны и раскрывает их действительный смысл.Задачи книги – развернуть перед читателем широкую картину мирового пространства и происходящих в нем удивительных явлений и возбудить интерес к одной из самых увлекательных наук – к науке о звездном небе.Для всех, кто интересуется астрономией, в том числе учителей, лекторов, руководителей кружков, любознательных школьников.
«Головоломки. Задачи. Фокусы. Развлечения» — увлекательная книга, полная волшебства.Автор книги, известный популяризатор науки Яков Исидорович Перельман, поможет читателям разглядеть неожиданные стороны как будто знакомых предметов, откроет секрет феноменальной памяти, научит интересным фокусам, предложит много занимательных игр и развлечений.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.