Юный техник, 2000 № 05 - [25]

— точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, причем АВ — СЕ, BE — AD, углы AED и BAD равны. Что больше: ВС или AD?

7. (8 — 10). Решите уравнение:

8. (9 — 10). Пусть I — центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC, R и r — радиусы окружностей, описанных около треугольников CIA и CIB соответственно. Найдите гипотенузу АВ.

9. а) (9 — 10). Найдите все тройки неотрицательных чисел (х; у; z), удовлетворяющие системе уравнений:

б) (10). Найдите все тройки чисел (х; у; z), принадлежащие отрезку [0; π/2], для которых:

10. (7 — 10). Пусть один из углов треугольника равен 120°. Верно ли, что треугольник, образованный основаниями его биссектрис прямоугольный?

11. (7 — 10). Представьте число 96 в виде суммы как можно большего количества попарно различных простых чисел. (Напомним, что простым называется натуральное число, большее 1 и не имеющее делителей, отличных от 1 и самого этого числа.)

12. (9 — 10). а) Известно, что значения квадратного трехчлена

ах² + 2Ьх + с

отрицательны при всех значениях х. Докажите, что значения трехчлена

а²х² + 2b²x + с²

при всех значениях х положительны.

b) Известно, что при всех целых значениях х квадратный трехчлен

х² + рх + q

где р и q — целые числа, положителен. Имеет ли он корни?

ОТДЕЛЕНИЕ ФИЗИКИ

Отделение работает 8 лет. За это время создан и прошел проверку оригинальный двухгодичный курс заочного обучения, ведется работа по дополнению его до трехгодичного.

Основное внимание уделяется решению физических задач. В пособиях излагаются методы, пригодные как для стандартных, так и для более сложных ситуаций. Акценты делаются как на выяснение физического смысла тех или иных явлений, так и на техническую, вычислительную сторону, на использование математического аппарата и на качественное истолкование полученных результатов.

В программе — все основные разделы школьного курса, а также темы, мало или совсем не изучаемые в школе. Изложение максимально приближено к современным взглядам и достижениям физической науки.

Обучение двухгодичное.

Поступающие на двухгодичный поток (на базе 9 классов средней школы) должны решить задачи 1 — 5 контрольной работы; чтобы быть зачисленным на одногодичный поток (на базе 10 классов) — задачи 4 — 8; желающие за один год пройти всю двухгодичную программу (на базе 10 классов) решают все задачи и пишут дополнительно к сведениям о себе «10+11» на обложке тетради с решениями.

Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы.

Задачи

1. Мячик подпрыгивает в вагоне на одном месте, абсолютно упруго ударяясь о пол через промежутки времени t = 2 с. Вагон движется равномерно и прямолинейно со скоростью v = 4 м/с. По какой траектории движется мячик относительно земли? Найдите перемещение мячика относительно земли в моменты времени t₁ = 2,5 с и t₂ = 3 с, если в начальный момент времени мячик находился в самом верхнем положении.

2. Два тела, связанные нитью, переброшенной через блок, приходят в движение из начального положения, показанного на рисунке.

Горизонтальная поверхность, на которой лежит одно из тел, гладкая, за исключением крайнего участка длиной 2L, на котором коэффициент трения тела о поверхность равен μ. Известны величина L и соотношение m₂ = m₁ Постройте графики зависимостей ускорения тел от пройденного ими пути а(l) и (качественно) от времени a(t). Нить и блок идеальные.

3. Три тела одной и той же массы лежат в гладком горизонтальном желобе на некотором расстоянии друг от друга. Тело 1 получает скорость v в направлении лежащего посередине тела 2. Последующие соударения как тел 1 и 2, так и 2 и 3, могут быть любыми: от абсолютно упругих до абсолютно неупругих. Выясните, какими должны быть эти соударения, чтобы тело 3 получило максимальную скорость.

4. Шарик находится между двумя плоскостями, составляющими угол α = 60° друг с другом. Одна из плоскостей расположена горизонтально и является абсолютно шероховатой, т.е. шарик по ней не проскальзывает. Каким должен быть коэффициент трения шарика о другую плоскость, чтобы он не двигался при попытках уменьшить угол между плоскостями?

5. Солнечные лучи падают перпендикулярно на непрозрачный круг и на экран, установленный на расстоянии d = 3 м за кругом. Найдите минимальное значение диаметра круга D, при котором на экране существует область, куда не попадают прямые солнечные лучи. Известно, что для наблюдателя на Земле угол между лучами, проведенными к противоположным концам диаметра Солнца, равен α = 0,5°.

6. К нижнему концу нерастянутой пружины жесткостью k = 20 Н/м, подвешенной вертикально, прикрепляют груз массой m₁ = 200 г и отпускают. Груз начинает совершать колебания. При прохождении нижней точки к нему подвешивают дополнительный груз массой m₂ = 150 г. Найдите амплитуду и период колебаний системы. Массой пружины пренебречь.

7. Смесь азота и гелия, каждый из которых занимал объем V₀ = 10 л при давлении р₀ = 1 атм и температуре t₀ = 15 °С, находится при той же температуре в сосуде объемом V = 30 л, закрытом подвижным поршнем. Какое количество теплоты нужно сообщить смеси, чтобы ее объем увеличился вдвое? Трением поршня о стенки сосуда и потерями тепла пренебречь.