Я — математик. Дальнейшая жизнь вундеркинда - [93]

Выбрав какой-то достаточно короткий промежуток времени, мы можем, двигаясь такими небольшими шагами, в конце концов определить значения всех интересующих нас параметров в любой наперед заданный момент. Именно так поступают астрономы, рассчитывая орбиты планет, и специалисты по баллистике, определяя траектории вылетающих из орудия снарядов.

В астрономии, как я уже говорил раньше, расчет орбит производится с очень большой точностью и с такой же точностью определяются и все исходные данные. Однако в баллистике, как и в большинстве других технических дисциплин, дело обстоит совсем не так. В момент выстрела, например, мы можем определить угол прицеливания лишь с весьма ограниченной точностью. То же самое справедливо и относительно веса снаряда, мощности заряда и параметров, характеризующих атмосферные условия. В результате с самого начала вместо точных значений всех параметров задачи мы располагаем лишь определенными диапазонами их возможных значений. Классический метод решения такой баллистической задачи состоит в том, что исходные данные сперва считаются точно известными. После этого определяют дальность действия, угол встречи, скорость при ударе и другие существенные параметры. Затем полученные результаты пересматриваются с помощью методов интерполяции или коррекции, в корне отличных от тех методов, которые использовались на первом этапе решения. При этом мы довольно бессмысленно расходуем значительные усилия сначала на то, чтобы обеспечить нереальную точность наших результатов, а затем на то, чтобы скорректировать эти недостаточно реальные данные. Существует, однако, другой метод, который все более и более начинает распространяться в последнее время; духовным отцом этого метода и является Уиллард Гиббс.

Гиббс отметил, что с процессом изменения состояния динамической системы, происходящим в соответствии с законами физики, например со свободным вращением волчка, можно связать другой процесс, очень напоминающий течение жидкости. Для того чтобы описать движение волчка, нужно указать определенную точку в некотором пространстве, существенно отличающемся от обычного трехмерного пространства, знакомого всем из курса стереометрии. Для определения положения волчка необходимо задать шесть координат, и еще шесть координат требуется для описания скоростей их изменения (или тесно связанных со скоростями импульсов). Все эти величины образуют набор из двенадцати чисел, который по аналогии можно назвать двенадцатимерным пространством. Оказывается, что в этом пространстве существует мера объема такая, что множество волчков, заполняющих в какой-то момент определенный объем, заполняло бы точно тот же объем и в любой другой момент времени. Такой не меняющийся во времени объем можно ввести для всех динамических систем, движение которых не сопровождается притоком или расходом энергии.

Поток, напоминающий поток жидкости, о котором мы упоминали выше, можно рассматривать как поток вероятностей; именно так его и интерпретировал Гиббс. Вероятность того, что частица в определенный момент времени попадет в определенную область этого странного пространства, оказывается равной вероятности того, что она через некоторое время попадет в другую область, а именно в ту, в которую в процессе своего движения перейдет исходная область.

Типичные уравнения, описывающие такой поток, уже не принадлежат к классу так называемых обыкновенных дифференциальных уравнений, а являются интегральными. Эти интегральные уравнения связывают распределения вероятностей в прошлом с распределениями вероятностей в будущем. Получаемая связь оказывается при этом такой, что если в начальный момент времени мы будем иметь сумму нескольких разных распределений, то и в будущие моменты времени получим распределение вероятностей, являющееся суммой распределений, получаемых из каждого из тех, которые имелись вначале. Подобная система, реакция которой на сумму входных воздействий оказывается равной сумме реакций на отдельные воздействия, называется линейной. Соответственно этому и интегральные уравнения потока, описывающего динамику всевозможных аналогичных систем, также надо считать линейными.

Описанный метод весьма удобен для практических расчетов; в случае же очень сложных задач он часто оказывается гораздо более простым, чем классический метод Ньютона. В несколько упрощенном виде этот метод сейчас широко практикуется некоторыми сотрудниками технического отделения МТИ.

Кроме достоинств, связанных с простотой расчета более сложных задач, этот метод по сравнению с ньютоновским имеет принципиальное преимущество с логической точки зрения. Ведь на самом деле уменьшение точности конечных результатов объясняется вовсе не одной только неточностью уравнений и неточностью определения начальных условий; вообще все имеющиеся у нас данные содержат принципиальную неточность. Поэтому бессмысленно сначала получать результат с искусственно повышенной точностью, а затем специально изучать ошибки при расчете, с тем чтобы выяснить его реальную точность. Мы можем с самого начала выложить все наши карты на стол; в конце концов при этом мы получим ровно то, что нам нужно, не больше и не меньше. Такой подход не только позволяет сэкономить много ненужных усилий, но и приводит к повышению реальной точности расчетов.