Я — математик. Дальнейшая жизнь вундеркинда - [50]

Комптон считал своим долгом поднять жалованье преподавателей института до уровня, который был достигнут в Гарвардском, Принстонском и других больших университетах. Война и трудности послевоенного периода помешали осуществлению этих планов, и мы так и не сравнялись с другими институтами нашего типа. Но благие намерения тоже чего-нибудь стоят, тем более, что делалось все возможное для того, чтобы их осуществить.

Лично я считал себя облагодетельствованным новым режимом. Это касалось и моего жалованья, и моих надежд на создание в институте специального научно-исследовательского математического центра. Я получил должность доцента и отныне мог считать, что завоевал достаточно прочное положение.

Мое знакомство с Ли произошло как раз в период бурного обновления МТИ. Буш в это время был в зените славы инженера-электрика. Его предложение взять Ли в качестве аспиранта — одно из самых больших благодеяний, которыми я ему обязан, и я до сих пор вспоминаю о нем с чувством глубокой благодарности.

Приблизительно в это время у нас с Маргарет появилась новая приятная обязанность — принимать дома коллег из Европы. Я довольно много занимался теорией электрических цепей и другими вопросами электротехники, поэтому мне приходилось часто встречаться с приехавшими из Берлина Рихардом Кауэром и с его женой. Но, пожалуй, самыми интересными и наиболее плодотворными оказались для меня встречи с Эберхардом Хопфом, который приехал из Германии в Гарвардский университет, в основном чтобы работать вместе с Дж. Д. Биркгофом.

Хопф очень интересовался небесной механикой и поэтому хорошо знал Биркгофа. Он сумел полностью оценить значение его последней работы, посвященной доказательству эргодической теоремы, той самой эргодической теоремы, которая была необходима для придания окончательной формы замечательным идеям Уилларда Гиббса. Эта работа, между прочим, — поразительное свидетельство tour de force[73] Биркгофа. Он занялся эргодической теорией без всякой предварительной подготовки, не обладая никакими специальными знаниями в области интеграла Лебега и даже не особенно им интересуясь. Несмотря на это, руководствуясь только своей математической интуицией, он сумел получить одну из важнейших теорем, вплоть до настоящего времени занимающую центральное положение в теории интеграла Лебега.

Так как я давно интересовался интегралами Лебега и теорией вероятностей, нам с Хопфом было о чем поговорить. Однако лучшая работа, которую мы вместе с ним сделали, касалась дифференциальных уравнений, встречающихся при изучении радиационного равновесия звезд. Внутри звезды имеется большая область, плотно заполненная электронами и атомными ядрами, а также световыми квантами, излучаемыми ядрами и электронами. Вне звезды расположен пояс, заполненный одним излучением или в крайнем случае излучением и очень разреженной материей. Различные типы частиц, из которых состоит световое излучение (радиация) и вещество звезды, находятся в определенном равновесии друг с другом, резко меняющем свой характер при переходе через поверхность звезды. Нетрудно составить уравнения, описывающие такое радиационное равновесие, но гораздо труднее найти общий метод решения этих уравнений.

Уравнения, описывающие радиационное равновесие звезд, принадлежат к типу, называемому теперь нашими именами[74]. Они тесно связаны с другими уравнениями, возникающими в задачах, в которых речь идет о двух различных физических режимах, разделенных резкой границей. В качестве примера можно указать на атомную бомбу, представляющую собой фактически модель звезды, в которой, как и в самой звезде, имеется поверхность, отделяющая область с одними физическими условиями от области с другими условиями; и действительно, некоторые важные задачи, касающиеся атомной бомбы, естественно формулируются в терминах уравнений Винера-Хопфа. Одним из таких вопросов является очень важный вопрос о размере, начиная с которого атомная бомба автоматически взрывается.

С моей точки зрения, однако, наиболее замечательное использование уравнений Винера-Хопфа относится к случаям, когда граница между двумя разными режимами проходит во времени, а не в пространстве, т. е., иначе говоря, когда один из наших режимов представляет собой состояние вселенной до некоторого фиксированного момента времени, а второй — ее состояние после этого момента. Особенно подходит этот аппарат для разбора некоторых аспектов теории прогнозирования, в которой известные данные о прошлом используются для того, чтобы определить будущее. Имеются также многие более общие задачи, которые можно решить при помощи того же самого аппарата уравнений Винера-Хопфа относительно некоторых функций времени. Среди них в первую очередь следует упомянуть задачу о фильтрации волн, возникающую в тех случаях, когда мы получаем сигнал, искаженный каким-то «шумом», и нам требуется выделить по возможности точно содержащееся в нем исходное сообщение.

Задачи прогноза и фильтрации оказались весьма важными в ходе последней войны и сохранили свое значение в последующие годы в связи с вызванным войной развитием новой техники. Задачи о прогнозе, в частности, существенны при управлении зенитной стрельбой, поскольку зенитные орудия должны учитывать будущее движение самолета точно так же, как охотник учитывает скорость летящей утки. Задачи о фильтрации все время используются в радиолокационной технике, а в последнее время и предсказание и фильтрация нашли применение в современной статистической метеорологии.