Введение в криптографию - [17]
В ранних версиях PGP в качестве алгоритма хэш-функции применялся MD5, Message Digest Algorithm, опубликованный для свободного применения компанией RSA Data Security. MD5 представляет собой хэш-алгоритм со 128-битовым выходом. В 1996 году MD5 был практически взломан немецким криптографом Гансом Доббертином. Хотя алгоритм не поддался окончательно, в нём выявились столь серьёзные недостатки (тенденция сжимающей функции алгоритма к коллизиям), что теперь никому более не рекомендуется использовать его для генерации ЭЦП. Дальнейшая работа в этой области наверняка позволит полностью его взломать, что сделает возможной свободную подделку электронных подписей. Если вы не желаете в один прекрасный день обнаружить свою электронную подпись на подставных признательных показаниях, переходите к применению новых ключей DSA и RSA v4 как предпочтительного метода генерации цифровых подписей, поскольку они в качестве криптографически стойкой односторонней хэш-функции используют SHA-1.
Как защитить открытый ключ от подмены
В среде криптосистем с открытым ключом вам нет нужды предохранять открытые ключи от компрометации. Напротив, гораздо лучше, когда они широко распространены. Но очень важно защищать их от подделки, дабы всегда сохранялась уверенность, что конкретный открытый ключ действительно принадлежит человеку, чьё имя указано в сведениях сертификата. В этом состоит самое слабое место криптосистем с открытым ключом и это их главная уязвимость. Давайте для начала представим потенциально возможный инцидент, а затем разберёмся, как его не допустить.
Предположим, вам нужно отправить секретное послание Алисе. Вы скачиваете её сертификат и открытый ключ с сервера-депозитария, затем этим ключом зашифровываете письмо и отправляете его по электронной почте.
К несчастью для вас и Алисы, злоумышленник Мэллори сгенерировал собственную ключевую пару с идентификационными сведениями Алисы в сертификате (имя, email), взломал сервер и незаметно подменил подлинный открытый ключ Алисы своей подделкой. Ничего не подозревая, вы использовали поддельный ключ Мэллори вместо открытого ключа Алисы, ведь всё выглядело вполне правдоподобно, поскольку на поддельном ключе была идентификационная информация Алисы. Теперь Мэллори может перехватить и расшифровать сообщение, предназначенное Алисе, поскольку в его распоряжении соответствующий закрытый ключ. Он даже может вновь зашифровать письмо реальным ключом Алисы и отправить его по назначению, так что никто не заметит ничего подозрительного. Более того, он может делать собственным закрытым ключом подписи, якобы принадлежащие Алисе, поскольку для их проверки все будут использовать его подставной открытый ключ.
Единственный способ избежать подобной проблемы — не допускать махинаций с открытыми ключами. Это несложно, если вы получили открытый ключ Алисы непосредственно от неё при личной встрече, но может оказаться весьма проблематичным, если она в тысячах миль от вас или просто в данный момент недоступна.
Вероятно, вы сможете получить ключ Алисы от вашего с ней общего друга Дэвида, который имеет подлинную копию её открытого ключа. Дэвид может подписать открытый ключ Алисы собственным закрытым, тем самым поручаясь за его достоверность.
Так, Дэвид заверит сертификат ключа, чем укажет, что ключ Алисы не был подделан. В то же время, проверка подписи поручителя на сертификате требует наличия у вас подлинной копии открытого ключа Дэвида. Вероятно, Дэвид также сможет предоставить и Алисе надёжную копию вашего ключа. Таким образом, он станет доверенным посредником-поручителем между вами и Алисой.
Этот подписанный сертификат открытого ключа Алисы может быть загружен ей самой или Дэвидом на сервер-депозитарий с тем, чтобы вы могли его получить в любое удобное время. Скачав сертификат, вы сверяете подпись открытым ключом Дэвида и можете быть уверены, что это на самом деле подлинный открытый ключ Алисы. Ни один мошенник не сможет вас одурачить, выдавая свой поддельный ключ за ключ Алисы, поскольку никто не может подделать сертифицирующую этот ключ подпись Дэвида.
Широко известный и уважаемый человек может даже специализироваться на услугах посредничества и представительства между разными пользователями, подписывая сертификаты их открытых ключей. Этого доверенного индивида можно назвать Центром сертификации. Цифровой сертификат любого открытого ключа, содержащий подпись этого Центра сертификации, может быть априорно расценен как подлинный и действительно принадлежащий пользователю, чья идентификация указана в сведениях сертификата. Любому пользователю, желающему участвовать в такой Сети доверия, для проврки подписей будет достаточно достоверной копии открытого ключа ЦС. В некоторых случаях, ЦС может также выступать в качестве сервера-депозитария, позволяя пользователям сети запрашивать из него открытые ключи; но для сервера-депозитария заверять ключи нет никакой необходимости.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.