Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - [3]

Шрифт
Интервал

Вернемся, однако, к нашей гипотезе. Посмотрите, что тут происходит. Мы столкнулись с математической задачей, в которой используются только базовые арифметические операции – сложение, умножение и деление, – и тем не менее никто на свете не знает, как ее решить!

Как такое может быть? Можно было бы предположить, что задача, которую можно сформулировать таким простым образом, должна иметь простое решение. Не тут-то было! На простой вопрос не всегда есть простой ответ. В математике есть множество вопросов, которые можно задать маленькому ребенку, и он легко поймет, в чем состоит задача, но ответов на них до сих пор не нашли даже самые гениальные взрослые.

Если рассмотреть достаточное количество примеров задачи Коллатца, можно заметить одно обстоятельство: последние числа, появляющиеся в этом процессе представляют собой последовательно уменьшающиеся степени 2. Например, если начать с 15, то последние пять чисел последовательности – это 16, 8, 4, 2 и, наконец, 1.

Это явление можно сформулировать в виде правила, сказав, что если процесс доходит до числа вида 2>n, то он гарантированно сойдется к 1 в точности через n делений на 2. Это наблюдение позволяет перефразировать гипотезу 3n + 1 следующим образом: приходит ли на каком-то этапе процесс, начатый с любого произвольного числа, к степени 2?

Принцип замены исходной задачи на другую называется приведением или упрощением. Этот метод – полезный математический инструмент; в некотором смысле он открывает более естественный путь к решению математических задач. Еще одна, похожая, стратегия решения задач – это рассуждения в обратном порядке (от конца к началу). Этот прием, возможно, знаком вам по лабиринтам. Когда разрабатываешь маршрут по лабиринту, иногда бывает удобнее начать от выхода и прокладывать путь к исходной точке. В некотором глубоком смысле можно сказать, что в том же состоит и метод приведения математической задачи.

Венгерский математик Пал Эрдёш (1913–1996) любил предлагать денежные призы за успешное решение интересовавших его открытых математических проблем. Призы эти начинались с 25 долларов, а доказательство гипотезы Коллатца стоило в его прейскуранте целых 500 долларов – то есть попадало в категорию весьма дорогих задач, хотя сам Эрдёш говорил, что мир математики, возможно, не готов к таким сложным и запутанным задачам, как гипотеза 3n + 1. Эрдёша уже нет с нами, но можно не беспокоиться: выплату призов взял на себя его коллега Рон Грэм. Если вам удастся решить эту задачу, вы можете получить приз одним из двух способов: либо в виде чека, который сам Эрдёш выписал перед смертью (его можно только вставить в рамку: срок действия этого чека давно истек), либо реальными деньгами (выбор между грехом гордыни и грехом сребролюбия).

К слову, а также потому, что я хотел бы поделиться этим интересным фактом, самое большое число, когда-либо использованное в математическом доказательстве, названо в честь этого же самого Рона Грэма. Число это настолько велико, что его невозможно записать в стандартной математической нотации.

Мудрость – это знать, что не знаешь того, чего не знаешь, и знаешь то, что знаешь. Глупость – это думать, что знаешь то, чего не знаешь, или не знаешь того, что знаешь.

Китайская пословица
ЧИСЛО ЭРДЁША

Пал Эрдёш был математиком исключительно плодовитым. Его превосходную биографию можно найти в книге Пола Хофмана «Человек, который любил только числа» (The Man Who Loved Only Numbers, 1998). Он написал более 1400 научных статей. Эрдёш был страстным поборником командной работы и сотрудничества, и за годы его научной деятельности вместе с ним над его статьями работали целых 511 математиков. Любому математику, который когда-либо писал статью в соавторстве с самим Эрдёшем, присваивается престижное число Эрдёша, равное 1. Те, кто сотрудничал с его соавторами, но не с самим Эрдёшем, получают число Эрдёша, равное 2. Аналогичным образом по мере все большего удаления присваиваются числа Эрдёша, равные 3, 4 и так далее. Общее правило таково: если вы сотрудничаете с человеком, наименьшее число Эрдёша которого равно k, то ваше число Эрдёша равно k + 1. Сам Эрдёш был единственным человеком с числом Эрдёша, равным 0. На противоположном конце спектра находятся те, кто никогда не писал статей с Эрдёшем и никогда не писал статей ни с кем из имеющих конечное число Эрдёша: их число Эрдёша равно бесконечности (∞). «Бесконечное число Эрдёша» звучит весьма престижно – может быть, даже престижнее, чем, скажем, «число Эрдёша 7», – но многие из вас, наверное, удивятся, узнав, что ваше собственное число Эрдёша (как и у большей части человечества) как раз и равно бесконечности. Я сам не пишу статей, но однажды принимал участие в совместной работе над статьей с математиком, число Эрдёша которого равнялось 3, так что я, даже не стремясь к тому, стал гордым обладателем числа Эрдёша, равного 4.

Это напоминает популярную салонную игру «Шесть шагов до Кевина Бейкона». Знаменитый голливудский актер Кевин Бейкон заявил однажды, что все до единого актеры в Голливуде либо снимались с ним вместе (Бейкон‐1), либо снимались с кем-нибудь, с кем снимался и он (Бейкон‐2), либо с кем-нибудь, кто снимался с кем-нибудь, кто… (Бейкон‐3, 4 и т. д.). В целом, утверждал он, «число Бейкона» почти всех актеров и актрис Голливуда не превышает 6. Например, у Элвиса Пресли оно равно 2. Связь между ними вы можете восстановить самостоятельно


Еще от автора Хаим Шапира
Счастье и другие незначительные вещи абсолютной важности

Эта книга – не из серии «Помоги себе сам». В ней Хаим Шапира – дважды доктор наук, математик, философ, психолог, литератор – пытается найти ответ на волнующий каждого вопрос – что такое счастье? И что надо делать (или чего не делать), чтобы стать счастливым человеком. К поискам привлечены такие авторитеты, как Платон, Декарт, Шекспир, Чехов, Вуди Аллен… Маленький принц, Винни-Пух, Алиса из Страны чудес и многие другие. Читатель узнает также, почему в нашей жизни так важны числа, что считают высшим счастьем женщины и почему их точка зрения так удивляет мужчин, всегда ли ученье – свет, что такое гнев и какова цена истинной дружбы.Хаим Шапира написал очень смешную книгу об очень серьезных вещах.


Гладиаторы, пираты и игры на доверии. Как нами правят теория игр, стратегия и вероятности

Избегать риска любой ценой – это очень рискованный путь, считает видный израильский математик и философ, автор бестселлеров Хаим Шапира. Его лаконичная, написанная с юмором книга полна поучительных парадоксов и примеров, которые объединяет главная тема: рассказ о том, как теория игр влияет на нашу жизнь, как ее положения можно использовать в ведении переговоров, выработке навыков стратегического мышления, в справедливом разделении бремени и в решении множества повседневных задач. «Эта книга касается теории игр и слегка затрагивает ряд важных идей в статистике и теории вероятностей.


Рекомендуем почитать
Продолжим наши игры+Кандибобер

Виктор Пронин пишет о героях, которые решают острые нравственные проблемы. В конфликтных ситуациях им приходится делать выбор между добром и злом, отстаивать свои убеждения или изменять им — тогда человек неизбежно теряет многое.


Черное море

В этой книге океанограф, кандидат географических наук Г. Г. Кузьминская рассказывает о жизни самого теплого нашего моря. Вы познакомитесь с историей Черного моря, узнаете, как возникло оно, почему море соленое, прочтете о климате моря и влиянии его на прибрежные районы, о благотворном действии морской воды на организм человека, о том, за счет чего пополняются воды Черного моря и куда они уходят, о многообразии животного и растительного мира моря. Книга рассчитана на широкий круг читателей.


Краткая история насекомых. Шестиногие хозяева планеты

«Любая история, в том числе история развития жизни на Земле, – это замысловатое переплетение причин и следствий. Убери что-то одно, и все остальное изменится до неузнаваемости» – с этих слов и знаменитого примера с бабочкой из рассказа Рэя Брэдбери палеоэнтомолог Александр Храмов начинает свой удивительный рассказ о шестиногих хозяевах планеты. Мы отмахиваемся от мух и комаров, сражаемся с тараканами, обходим стороной муравейники, что уж говорить о вшах! Только не будь вшей, человек остался бы волосатым, как шимпанзе.


Историческое образование, наука и историки сибирской периферии в годы сталинизма

Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.


Технологии против Человека. Как мы будем жить, любить и думать в следующие 50 лет?

Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.


Лес. Как устроена лесная экосистема

Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.