Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - [32]

Мы уже говорили о рациональных числах, которые выражаются целочисленными дробями. Они имеют внутреннюю структуру, которая определяется двумя числами: числителем и знаменателем. Но при записи в десятичной форме можно наблюдать скачки от регулярности в представлении таких чисел, как 1/2 = 0,5, или 1/3 = 0,3333… = 0,3 до периодичного повторения уже вполне беспорядочных последовательностей в таких числах, как 1/17 = 0,0588235294117647. Иррациональные числа не имеют конечной или периодической записи в десятичной форме, в последовательности цифр чаще всего царит хаос. Но это не значит, что в таких числах нет порядка! Например, √2, одно из первых иррациональных чисел, встретившихся математикам, в десятичной записи порождает хаотический набор цифр. Однако, с другой стороны, это число можно представить в виде бесконечной цепной дроби:

Нетрудно показать, что эта цепочка действительно равна корню из двух, решив уравнение:

Цепные дроби с повторяющимися коэффициентами записывают коротко, подобно периодическим десятичным дробям, например: √2 = [1;2], √3 = [1;12]. Знаменитое золотое сечение в этом смысле представляет собой проще всего устроенное иррациональное число: φ = [1;1]. Все рациональные числа представляются в виде конечных цепных дробей; часть иррациональных — в виде бесконечных, но периодических, такие числа называют алгебраическими; те же, что не имеют конечной записи даже в такой форме, — трансцендентными. Самое, пожалуй, знаменитое из них — число π, оно порождает хаос как в десятичной записи, так и в виде цепной дроби: π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,2,1,14,2,1,…]. А вот число Эйлера e, будучи трансцендентным, в форме цепной дроби проявляет внутреннюю структуру, скрытую в десятичной записи: e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,…].

Наверное, не один математик подозревал мир в коварстве, обнаруживая, что такое нужное, такое фундаментальное число π имеет столь неуловимо сложную хаотичную структуру. Конечно, его можно представить в виде более или менее изящных сумм, произведений, вложенных корней, но все эти ряды, в отличие, например, от цепных дробей, не универсальны и не характеризуют каких-либо особых классов чисел.

Я верю, что математикам будущего откроется какое-нибудь новое фундаментальное представление чисел — столь же универсальное, как цепные дроби, — которое позволит выявить строгий порядок, скрытый природой в числе π, и найти ему подобные.

* * *

Результаты этой главы по большей части отрицательные. И, как автор, желающий удивить читателя скрытыми закономерностями и неожиданными открытиями, я сомневался, стоит ли включать ее в книгу. Но наш разговор о погоде ушел в очень важную тему — о ценности и осмысленности естественнонаучного подхода.

Одна мудрая девочка, Соня Шаталова, глядя на мир сквозь призму аутизма, в десятилетнем возрасте дала очень лаконичное и точное определение: «Наука — это система знаний, основанных на сомнении». Реальный мир зыбок и норовит спрятаться за сложностью, видимой случайностью и ненадежностью измерений. Сомнение в естественных науках неизбежно. Математика представляется царством определенности, в котором, кажется, можно забыть о сомнении. И очень заманчиво спрятаться за его стенами; рассматривать вместо труднопознаваемого мира модели, которые можно исследовать досконально; считать и вычислять, благо формулы готовы переварить что угодно. Но все же математика — наука, и сомнение в ней отражает глубокую внутреннюю честность, не дающую покоя до тех пор, пока математическое построение не очистится от дополнительных предположений и лишних гипотез. В царстве математики говорят на сложном, но стройном языке, пригодном для рассуждений о реальном мире. Именно поэтому так важно хоть немного познакомиться с этим языком, чтобы не позволять цифрам выдавать себя за статистику, фактам — притворяться знанием, а невежеству и манипуляциям противопоставлять настоящую науку.

Глава 5. Закон арбузной корки и нормальность ненормальности

Глядя новости или читая комментарии к ним, мы порой недоумеваем: «Есть в этом мире нормальные люди?!» Вроде должны быть, ведь нас много и в среднем мы наверняка нормальны. Но при этом мудрецы говорят, что каждый из нас уникален. А подростки уверены, что они-то уж точно отличаются от серой массы «нормальных людей» и ни на кого не похожи.

Небольшое отступление о том, что такое «в среднем». Часто можно услышать шутливые фразы о «средней температуре по больнице» или «средней зарплате», не отражающей действительное распределение. В статистике встречаются несколько разных средних. Чаще всего применяются три вида — выборочное среднее (или просто среднее), выборочная медиана и мода.

Пусть у нас есть выборка X = (x₁,…,x_n). Тогда выборочное среднее — обычное среднее арифметическое (x₁+…+x_n)/n. Когда мы говорим о среднем росте или средней оценке в школе, обычно подразумеваем именно это.

Однако бывают случаи, когда выборочное среднее не отражает «нужную среднесть». Представьте, что вы считаете средний доход в городе. Если там живет Билл Гейтс, то вы получите завышенный результат с точки зрения любой практической задачи. Для исправления ситуации можно использовать, например, медиану.