Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - [20]

Обезразмеренные данные теперь четко говорят в пользу нашего закона, ограничивая его, однако, определенным диапазоном высот: от 2 до 5 размеров бутерброда (от высоты локтя над столом до высоты руки сидящего человека). За пределами этого диапазона у бутерброда повышается шанс повернуться более выгодной для нас стороной перед падением.

А что, если заглянуть дальше и кидать бутерброды из окна? Понятно, что при падении с большой высоты уже неважно, какой стороной приземлилось то, во что превратится бутерброд, и сопротивление воздуха стабилизирует падение, но чисто теоретически: что мы ожидаем увидеть? Наверное, должны наблюдаться некие колебания вероятности по мере увеличения времени полета. Давайте посмотрим (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Вероятность приземления маслом вниз бутерброда при падении с большой высоты

В целом форму зависимости мы угадали, но любопытно, что амплитуда колебаний вероятности уменьшается и она сходится к 50 %. О чем это может говорить? Тот же ли это эффект, что и в случае с монеткой, когда при увеличении длительности полета становятся более существенными последствия отклонений начальных условий? Оказывается, в данном случае природа выравнивания вероятностей иная.

Еще немного анализа размерностей

Какой бы несерьезной ни была тема нашей книги, мы говорим на языке математики, а он стремится к точным решениям. Можно встретить даже такую фразу: «Если для решения вам понадобился только компьютер, то это еще не математика». Метод Монте-Карло позволил нам получить представление о решении, но это то, что называется грубой силой. Это совсем не так интересно, как хоть какое-то, но аналитическое решение.

Анализ размерностей позволит нам построить теоретический вид зависимости, полученной методом Монте-Карло. Для этого не понадобится решать дифференциальные уравнения; более того, рассуждения не выйдут за пределы вполне примитивных и очевидных соотношений. В том и состоит очарование анализа размерностей — который, впрочем, иногда выглядит фокусничеством. Итак, приступим, ограничиваясь для простоты соскальзыванием бутерброда длины l со стола высоты H с нулевой горизонтальной скоростью.

1. Угол поворота падающего бутерброда зависит от времени и угловой скорости:

φ = tω.

2. Угловая скорость равна произведению времени соскальзывания и углового ускорения:

ω = t₀ε.

3. Время соскальзывания можно выразить через ускорение свободного падения и часть длины бутерброда, которая соприкасалась со столом, следующей пропорцией:

где l₀ — длина части бутерброда, лежавшей на столе. Здесь мы используем отношение пропорциональности, обозначенное знаком ∝. Выражение y∝x можно переписать как y = Cx, где C — некая неизвестная константа. Я очень люблю это отношение. Пропорциональность «вбирает в себя» все сложное, что превращается в константу: и то, что при повороте меняется момент силы тяжести, и то, что при соскальзывании перемещается центр вращения. Все это, конечно, нужно знать для точного расчета, но в результате получится только безразмерный коэффициент, а в нашем анализе он не играет роли. Одним значком мы избавили себя от утомительного интегрирования.

1. Угловое ускорение происходит от ускорения силы тяжести и зависит от плеча, к которому она прилагается:

И опять знак ∝ позволил нам не вычислять момент инерции пластины для оси, лежащей в ее плоскости, а также изменяющейся проекции силы тяжести (это еще два интеграла).

2. Наконец, время падения зависит от высоты стола и ускорения свободного падения:

3. Подставляя все эти выражения в первую формулу, получаем результат:

который, если измерять все длины в бутербродах, превращается в

Здесь l₀ = xl и H = hl. Что ж, все сходится: угол — величина безразмерная, и зависит она от безразмерных коэффициентов — но не от масштаба времени. Остается чистая геометрия. Знаменатель не опасен — при x > 0,5 бутерброд не упадет вовсе (мы рассматриваем нулевую горизонтальную скорость), так что 0 < x < 0,5.

То, какой стороной упадет бутерброд, определяется знаком синуса угла φ, то есть функцией sign(sinφ). Она возвращает –1 для случая «маслом вверх» и 1 для «маслом вниз». Мы можем использовать эту функцию для выражения вероятности падения детерминистического бутерброда, если приведем ее к диапазону от 0 до 1:

где стрелочка в индексе символически означает ориентацию масла. Коэффициент C, появившийся в формуле вероятности, выражает все то, что осталось спрятанным, с помощью знака пропорциональности. Это действительно очень хитрый ход, он избавил нас от утомительного интегрирования (и даже трех). Но как же нам теперь узнать, чему равен этот коэффициент? Из эксперимента. Причем достаточно одного испытания с измерением угла в момент падения, чтобы получить оценку этого значения! С помощью симулятора я легко выяснил, что C = 2,3.

Мы получили устрашающее двухпараметрическое распределение. Что же с ним теперь делать? Нас интересует вероятность того, что бутерброд упадет маслом вниз, если x будет равно 0,2; или 0,4; или любому числу от 0 до 0,5. Мы использовали союз «или», при этом каждый случай рассматривается как независимый и исключающий все прочие при проведении конкретного эксперимента. Вспомним, что вероятность — мера вероятностного пространства, а раз так, то она аддитивна. Это позволяет нам просто сложить вероятности