Венский кружок. Возникновение неопозитивизма - [54]

Высказывание не является настолько определенным, что говорит об одном единственном факте. Верифицирующее его положение дел может варьироваться в определенных пределах. Высказывание «NN живет в Вене» соответствует множеству положений дел: он может жить в том или ином районе, доме, на том или ином этаже. В большинстве случаев высказывание обозначает только область отдельных фактов, некоторое пространство возможностей. У двух (или нескольких) высказываний эти пространства могут исключать друг друга, одно из них может включаться в другое или они могут пересекаться. Если для величины пространства возможностей ввести некоторую меру, то эти соотношения пространств возможностей можно определить количественно, с помощью чисел: исключение через 0, включение через 1, а пересечение посредством дроби. Величина общего пространства возможностей по отношению к величине пространства возможностей одного высказывания и есть та вероятность, которую последнее высказывание придает другому высказыванию. Если вместо одного этого высказывания принимают во внимание все известные истинные высказывания, то получают ту вероятность, которую придает высказыванию вся совокупность современного знания. Чем больше общее пространство возможностей, тем выше вероятность. Опираясь на эти основоположения, «можно чисто формально развивать исчисление вероятностей, не добавляя всякий раз общепризнанных предложений» (S. 239).

Это определение вероятности оправдывается тем, что к вероятности прибегают тогда, когда условия появления некоторого события известны или учитываются лишь частично, так что их недостаточно для утверждения индивидуального определенного высказывания. Степени неуверенности относительно истинности такого высказывания выражаются в вероятности. Однако, несмотря на это, вероятность отнюдь не является субъективной, так как она определяется логическими взаимосвязями между высказываниями. Опираясь на частично известные условия появления некоторого класса событий и на основе метрики для величин пространства возможностей, можно вычислить определенную вероятность и отсюда вывести соотношение частот в качестве предпосылки для построения статистических рядов. Это дает большое преимущество по сравнению с частотной теорией вероятности, которая вынуждена принимать статистические ряды просто как данное. Частотная теория может быть, в определенном смысле, встроена в теорию пространства возможностей, при этом затруднения частотной теории устраняются. Если опыт подтверждает оценку вероятности, то это свидетельствует о том, что события определены только теми условиями, которые положены в основу исчисления вероятностей и не зависят от других, неизвестных нам обстоятельств. Если же опыт не подтверждает оценки вероятности, мы ищем объяснение этого в других зависимостях. Такова взаимосвязь вероятности с зависимостью, т. е. закона и случая. Такое обоснование вероятности получило одобрение Карнапа²⁰⁹ и Шлика²¹⁰.

Напротив, Поппер остался сторонником частотной теории, он учел выдвинутые против нее возражения и придал ей новую лучшую форму. Он исходил из оригинальной мысли о том, что требование неупорядоченности, которое само по себе вовсе не необходимо, следует заменить чисто математическим требованием, гласящим, что при любом подборе членов относительная частота последовательности должна сохраняться после выбора определенного члена последовательности. Вместо неупорядоченной статистической последовательности он конструирует случайную математическую последовательность, которая воспроизводит неупорядоченность случайной последовательности в виде математической последовательности, построенной в соответствии с некоторым правилом. Некоторая последовательность подобна случайной, если предельная частота ее основного признака не зависит от выбора любой л-ки членов. Тем самым неупорядоченность заменяется гипотезой частотности. Он получает чисто математическое основание.

Поскольку эмпирические случайные последовательности конечны, постольку при их математическом моделировании нужно отказаться от предельного значения относительной частоты, ибо она имеет место только для бесконечных последовательностей. Поэтому вместо нее Поппер вводит понятие точки накопления относительных частот в последовательности. Под этим он подразумевает, что для каждого отрезка последовательности всегда имеется такой отрезок, относительная частота в котором сколь угодно мало отличается от определенной частоты, образующей точку накопления. Если последовательность имеет только одну такую точку накопления, то единственная средняя частота, являющаяся также средней частотой каждой выборки членов, заменяет предельное значение относительной частоты²¹¹. Эта средняя частота представляет «вероятность» распределения признака. Таким образом, последовательность, подобная случайной, ведет себя как сходящаяся.

Затем Поппер указал на то, что теорема Бернулли о предельном значении является независимой и предполагает лишь безразличие относительной частоты по отношению к выборкам. Это указание говорит о том, что из одного этого предположения данная теорема выводима для случайных последовательностей без предельного значения частоты. При интерпретации вероятности как относительной частоты теорема Бернулли гласит: относительная частота распределения признака в достаточно длинном конечном отрезке случайной последовательности сколь угодно мало отличается от средней частоты последовательности в целом, но в коротких отрезках может отличаться значительно больше. Чем меньше отрезок, тем большими могут быть отклонения от средней частоты; чем больше отрезок, тем меньше отклонения, тем больше они выравниваются. Но это есть не что иное, как закон больших чисел. Таким образом, этот закон оказывается тавтологичной переформулировкой теоремы Бернулли и логическим следствием того свойства ряда случайных событий, что им присуща некоторая средняя частота, которая не нарушается в выборках определенного рода. Так разрешается тот парадокс, что, несмотря на «неупорядоченность» таких рядов, при больших числах обнаруживается некоторая «закономерность». Тогда из этого свойства упорядоченности чисто логически следует, что малые отрезки неупорядочены и только в больших отрезках может проявиться порядок в смысле сходимости.