Великая Теорема Ферма [заметки]

1

Не могу отказать себе в удовольствии привести сонет А. Шамиссо, написанный по этому поводу:

Во мгле веков пред нашим взором

Блеснула истина. Она,

Как теорема Пифагора,

До наших дней еще верна.

  Найдя разгадку, мудрый старец

Был благодарен небесам;

Он сто быков велел зажарить

И в жертву принести богам.

  С тех пор быки тревожно дышат, —

Они, кляня дары богов,

О новой истине услышав,

Ужасный поднимают рев.

  Их старца имя потрясает,

Их истины лучи слепят;

И, новой жертвы ожидая,

Быки, зажмурившись, дрожат.

— E.G.A.

2

Задачи занимательные и приятные, связанные с числами. (фр.)

3

Гарднер М. Математические новеллы. — М.: Мир, 1974; гл. 28 «Краткий трактат о бесполезной красоте совершенных чисел». 

4

Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвертой степени быть записанной в виде суммы двух четвертых степеней, или, в общем, для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанной в виде суммы двух таких же степеней. (лат.)

5

Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его. (лат.)

6

Вспомнилась тут фраза Титчмарша: «Я недавно встретил человека, который сказал мне, что не верит даже в существование минус единицы, так как из этого следует существование квадратного корня из неё».:) — E.G.A.

7

Приведу иллюстрацию с вселением нового клиента в отель Гильберта. Она позаимствована из книги «Proofs from THE BOOK», выпущенной издательством Springer в 1998 году и переизданной в 2001 году. Авторы: Martin Aigner и Günter M. Ziegler. Мелкая цитата из предисловия авторов к этой книге: "Paul Erdös liked to talk about The Book, in which God maintains the perfect proofs for mathematical theorems, following the dictum of G. H. Hardy that there is no permanent place for ugly mathematics. Erdös also said that you need not believe in God but, as mathematician, you should believe in The Book. We have no definition or characterization of what constitutes a proof from The Book: all we offer here is the examples that we have selected, hoping that our readers will share our enthusiasm about brilliant ideas, clever insights and wonderful observations. We also hope that our readers will enjoy this despite the imperfections of our exposition. The selection is to a great extent influenced by Paul Erdös himself." Вот главу "Множества, функции и гипотеза континуума" эта иллюстрация и открывает. — E.G.A.

8

Хм… Я где-то читал, что он поплатился жизнью, когда крикнул: «Осторожно! Не наступи на мои чертежи!», но римский солдат, к которому был обращен этот возглас, не обратил внимания, что перед ним безоружный старик. :( А в упомянутой мною раньше книге «Proofs from THE BOOK» главу "Теория чисел" предваряет рисунок, на котором никакого копья нет. Видать, художник тоже не знал подробностей смерти Архимеда. — E.G.A.

9

Сам бы мог привести пару историй с «ферматистами», которые в своё время услышал от зав. кафедрой алгебры нашего местного университета. Но не веселы они: в сущности, эти «ферматисты» — несчастные люди. И на ICM'98 в Берлине, где Эндрю Уайлс получал Филдсовскую премию, на секции алгебры видел доклады типа "А вот ещё одно доказательство Великой теоремы Ферма". Лучше расскажу про одну из "увёрток от ферматистов", которую где-то вычитал. Учёный секретарь одного из московских академических институтов, не избежавшего нашествия ферматистов, однажды был в отпуске в Молдавии и на рынке купил какую-то снедь, которую ему завернули в местную газету. Вернувшись с рынка, он стал просматривать этот листок и наткнулся на заметку, в которой сообщалось, что местный школьный учитель доказал теорему Ферма, и, как следствие, пелись всякие дифирамбы высокому уровню областной науки. Учёный секретарь вырезал эту заметку, а по возвращении в Москву вставил её в рамку и повесил на стену своего кабинета. Теперь, когда на него «нападал» очередной ферматист, он широким жестом приглашал того ознакомиться с "текущим положением дел". Жизнь явно стала легче. :) — E.G.A.

10

Это не совсем верно. Развивая идеи Куммера, именно в это или близкое время Д. Гильберт, Э. Нётер, Б. Л. Ван дер Варден и другие, придали алгебре и теории чисел современный облик.

11

Мы должны знать, мы будем знать (нем.)

12

Фундаментальные законы арифметики (нем.)

13

Главный труд (лат.)

14

Обе теоремы относятся к достаточно богатой математической теории (например, к аксиоматике Пеано теории целых чисел или системе аксиом Цермело–Френкеля). Следует иметь в виду, что здесь приводятся не точные формулировки теорем, а их популярная интерпретация.

15

А Роджер Фрай (как сказано в "Конкретной математике" Р. Грэхема, Д. Кнута и О. Паташника) затратив 110 часов работы суперкомпьютера Connection Machine, показал, что единственным решением для w < 1 000 000 является 95 800⁴ + 217 519⁴ + 414 560⁴ = 422 481⁴. — E.G.A.

16

Название арифметика вычетов, или арифметика остатков, происходит от того, что в ней рассматриваются не сами числа, а остатки от деления на какое-либо число, в данном случае на 5.

17

Строго говоря программа Ленглендса относится прежде всего к установлению связей между теорией представлений алгебраических групп, теорией модулярных форм и теорией Галуа глобальных полей.

18

Работы С. Ю. Аракелова не имеют отношения к программе Ленглендса. — Прим. ред

19

Здесь имеется в виду аналогия между теорией чисел и теорией функций, восходящая к Л. Кронекеру, и особенно развитая в работах Д. Гильберта. — Прим. ред.

20

Отметим, что Г. Фалтингс не занимался специально теоремой Ферма. О работе Г. Фалтингса и предшествующих исследованиях см. Паршин А. Н., Зархин Ю. Г. Проблемы конечности в диофантовой геометрии. – В кн.: Ленг С. Диофантова геометрия. – М.: Мир, 1986. С. 369–438. — Прим. ред.

21

Эти утверждения неверны. Для случая алгебраических поверхностей неравенство Мияоки было им же доказано (обобщая предшествующее неравенство Ф. А. Богомолова). То, что арифметический аналог неравенства Мияоки влечет теорему Ферма было показано А. Н. Паршиным. Более подробно см. Паршин А. Н. Дополнение редактора к книге «Алгебра и теория чисел (с приложениями)». – М.: Мир, 1987. С. 267–271. — Прим. ред.

22

Констанс Рид  в своей книге «Гильберт» (М., Наука, 1977) рассказывает об этом так: "Гильберт хотел привести своим слушателям характерные примеры теоретико-числовых проблем, представляющихся на первый взгляд совсем простыми, но решение которых оказывается невероятно трудным. Он упомянул в качестве такого типа проблем гипотезу Римана, теорему Ферма и проблему трансцендентности числа 2^√2 (составляющую седьмую из его парижских проблем). Затем он продолжил, сказав, что недавно обнаружился большой прогресс, связанный с гипотезой Римана, и он очень надеется, что сам доживет до ее доказательства. Проблема Ферма стоит уже давно и явно требует совершенно новых методов для своего решения, — быть может, самому молодому слушателю в аудитории удастся дожить до ее решения. Что же касается числа 2^√2, то ни один из присутствующих на лекции не доживет до доказательства его трансцендентности!

Две первые из упомянутых Гильбертом проблем не решены до сих пор. Однако десять лет спустя один молодой русский математик по фамилии Гельфонд установил трансцендентность числа 2^√(–2). Основываясь на его работе, К.Л. Зигель вскоре доказал требуемую трансцендентность числа 2^√2.

Зигель написал Гильберту об этом доказательстве. Он напомнил ему слова, сказанные на лекции в 1920 году, и подчеркнул, что важнейшим моментом здесь была работа Гельфонда. Гильберта часто критиковали за то, что «он ведет себя так, как будто всё сделано в Гёттингене». Теперь он с крайним восторгом ответил на письмо Зигеля, даже не упомянув о достижении молодого русского математика. Он хотел опубликовать только решение Зигеля. Но тот отказался, уверенный, что Гельфонд сам, в конце концов, решит и эту проблему тоже. Гильберт сразу потерял всякий интерес к этому делу". Цитата хоть и великовата, но показывает, что предсказания Гильберта не всегда бывали "исключительно точны". :) — E.G.A.

23

чересчур завышенная оценка; еще двадцать лет назад было известно, что показатель в теореме Шнирельмана не превышает 20. — E.G.A.

24

Имеется в виду древнегреческий миф о царе Эдипе. После того, как Эдип разгадал загадку, предложенную ему Сфинксом, Сфинкс бросился в пропасть со скалы.