Удовольствие от Х. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире [заметки]

Шрифт

Интервал

Слэм-данк — вид броска в баскетболе, при котором игрок выпрыгивает вверх и одной или двумя руками бросает мяч сквозь кольцо сверху вниз. Прим. перев.

Джей Симпсон — известный игрок в американский футбол. Сыграл роль детектива Нортберга в знаменитой трилогии «Голый пистолет». Был обвинен в убийстве бывшей жены и ее друга и оправдан, невзирая на улики. Прим. перев.

Чтобы ознакомиться с увлекательной идеей о том, что числа живут собственной жизнью, а математика может рассматриваться как одна из форм искусства, см. P. Lockhart, A Mathematician’s Lament (Bellevue Literary Press, 2009).

Прим. ред.: В русском интернете много переводов эссе Локхарда «Плач математика». Вот один из них: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html.

Эта известная фраза взята из эссе E. Wigner The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Communicationsin Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, No. 1, (February 1960), рр. 1–14. Онлайн-версия доступна на http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html.

Для дальнейших размышлений на эту тему, а также о том, была математика изобретена или открыта, см. M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon and Schuster, 2009) и R. W.Hamming, The unreasonable effectiveness of mathematics, American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (February 1980).

Написанием данной главы я во многом обязан двум замечательным книгам: полемическому эссе P. Lockhart, A Mathematician’s Lament (Bellevue Literary Press, 2009) и роману Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009).

Прим. ред.: Об эссе Локхарда «Плач математика» сказано в примечании 1. Перевода романа Ёко Огавы на русский язык пока нет.

Молодым читателям, которые хотят изучать числа и их структуры, см. H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000).

Прим. ред.: Среди многочисленных русских книг о началах математики, нестандартныхподходах к ее изучению, развитии математического творчества у детей и тому подобных тем, созвучных следующим главам книги, укажем пока следующие: Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул. М.: АО «Столетие», 1995; Остер Г. Задачник. Ненаглядное пособие по математике. М.: АСТ, 2005; Рыжик В. И. 30 000 уроков математики: Книга для учителя. М.: Просвещение, 2003: Тучнин Н. П. Как задать вопрос? О математическом творчестве школьников. Ярославль: Верх. — Волж. кн. изд-во, 1989.

Превосходные, но более сложные примеры визуализации математических образов представлены в R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).

Теория баланса впервые была предложена социальным психологом Фрицем Хайдером в 1946 году и с тех пор разрабатывалась и применялась теоретиками социальных сетей, политологами, антропологами, математиками и физиками. Ее исходные положения даны в F. Heider, Attitudes and cognitive organization, Journal of Psychology, Vol. 21 (1946), pp. 107–112, и F. Heider, The Psychology of Interpersonal Relations (John Wiley and Sons, 1958). Обзор по теории баланса с точки зрения социальных сетей см. S. Wasserman and K. Faust, Social Network Analysis (Cambridge University Press, 1994), chapter 6.

Теорема, из которой следует, что сбалансированное состояние в полностью связной сети должно быть либо в виде одной нирваны для всех друзей, либо в виде двух взаимно антагонистических группировок, впервые была доказана в D. Cartwright and F. Harary, Structural balance: A generalization of Heider’s theory, Psychological Review, Vol. 63 (1956), pp. 277–293. Очень легко читаемая версия доказательства и простое введение в математику теории баланса дано двумя моими коллегами из Корнельского университета в работе D. Easley and J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets (Cambridge University Press, 2010).

Примеры и графические изображения альянсов до Первой мировой войны взяты из T. Antal, P. L. Krapivsky and S. Redner, Social balance on networks: The dynamics of friendship and enmity, Physica D, Vol. 224 (2006), pp. 130–136, доступной по адресу http://arxiv.org/abs/physics/0605183. Эта статья, написанная тремя физиками, распространяет теорию баланса на динамические структуры, тем самым расширяя ее за пределы ранних статических подходов. Исторические подробности европейских союзов и альянсов приведены в W. L. Langer, European Alliances and Alignments, 1871–1890, 2^>nd edition (Knopf, 1956) и B. E. Schmitt, Triple Alliance and Triple Entente (Henry Holt and Company, 1934).

Кит Девлин написал провокационную серию очерков о природе умножения: что это такое, что в нем не так и почему определенные виды мышления более ценны и надежны в процессе умножения, чем другие. Он рассматривает умножение как масштабирование, не сводя его к процессу суммирования, и показывает, что эти два понятия (умножение как масштабирование и умножение как суммирование) существенно разнятся в реальных условиях. См. его январскую (2011 года) статью What exactly is multiplication? на http://archive.is/qCkK, а также три более ранних 2008 года: It ain’t no repeated addition (http://www.maa.org/devlin/devlin_06_08.html), It’s still not repeated addition (http://www.maa.org/devlin/devlin_0708_08.html) и Multiplication and those pesky British spellings (http://www.maa.org/devlin/devlin_09_08.html). Эти статьи активно обсуждались в среде блогеров, особенно среди учителей.

Американский исполнитель поп-музыки, снискавший мировую славу в 1980-х годах. Прим. ред.

В примере с джинсами порядок применения налогового сбора и скидки для вас не имеет значения — в обоих сценариях вы в конечном итоге платите 43,20 доллара. Но для правительства и магазина он весьма существенен! В сценарии продавщицы (при котором вы платите налог в зависимости от первоначальной цены) вы заплатите 4 доллара налога, в вашем сценарии — всего 3,20 доллара. Я не знаю, одинаков ли закон о налоге на продажи во всех штатах, но рациональнее всего взимать его на основе фактической цены в магазине. Дальнейшее обсуждение этих вопросов см. http://www.facebook.com/TeachersofMathematics/posts/166897663338316.

Обсуждение достоинств и недостатков закона Roth 401(k) см. публикации Commutative law of multiplication (http://thefinancebuff.com/commutative-law-of-multiplication.html) и The new Roth 401(k) versus the traditional 401(k): Which is the better route? (http://www.thesimpledollar.com/2007/06/20/the-new-roth-401k-versus-the-traditional-401k-which-is-the-better-route/).

Лига плюща — группа самых престижных частных колледжей и университетов на северо-востоке США, которые славятся высоким уровнем обучения и научных исследований. Название связано с тем, что по английской традиции стены университетов — членов Лиги увиты плющом. Прим. ред.

Эта история о Мюррее Гелл-Манне рассказывается в G. Johnson, Strange Beauty (Knopf, 1999), p. 55. По словам самого Гелл-Манна, хотя его приняли в «страшный» Массачусетский технологический институт, он «рассматривал самоубийство как единственный выход из положения, если пролетаешь мимо Лиги плюща». «Мне пришло в голову (и это интересный пример некоммутирующих операторов), что можно попробовать учебу в Массачусетском технологическом институте и убить себя позже, в то время как обратный порядок событий невозможен». Этот отрывок приведен в H. Fritzsch, Murray Gell-Mann: Selected Papers (World Scientific, 2009), p. 298.

Рассказ о том, как Гейзенберг и Дирак открыли роль некоммутирующих переменных в квантовой механике, см. G. Farmelo, The Strangest Man (Basic Books, 2009), pp. 85–87.

Прим. ред.: По истории квантовой механики см., например: Пономарев Л. И. Под знаком кванта. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005; Милантьев В. П. История возникновения квантовой механики и развитие представлений об атоме. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

Математики говорят, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения, то есть результаты этих операций, совершенные над натуральными числами, тоже будут натуральными числами. Аналогично множество всех целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения. Прим. ред.

Сцену, где молодой Кристи пытается мужественно ответить на вопрос «Сколько будет 25 процентов от четверти?» можно найти на сайте http://www.tcm.com/mediaroom/video/223343/My-Left-Foot-Movie-Clip-25-Percent-of-a-Quarter.html.

В блоге Джорджа Ваккаро (http://verizonmath.blogspot.com/) можно узнать подробности его встречи с представителями Verizon Wireless. Стенограмма разговора доступна на http://verizonmath.blogspot.com/2006/12/transcription-jt.html. Аудиозапись — на http://imgs.xkcd.com/verizon_billing.mp3.

Для читателей, которым все еще трудно принять, что 1 = 0,9999…, аргументом (убедившим в конце концов и меня) может быть такое рассуждение: они должны быть равны, потому что между ними нельзя вставить никакого другого десятичного числа. (В то же время, если два десятичных числа не равны, то между ними можно вставить их среднее, а также бесконечно много других десятичных чисел.)

Удивительные свойства иррациональных чисел обсуждаются на более высоком математическом уровне на странице Irrational Number по адресу http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html. Взгляд, согласно которому цифры в иррациональном числе рассматриваются как случайные, представлен на http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html.

Эзра Корнелл (англ. Ezra Cornell; 1807–1874) — американский бизнесмен, изобретатель, филантроп. Вместе с Эндрю Уайтом основал Корнелльский университет. Знаменит также тем, что был в числе учредителей и фактических руководителей всемирно известной компании Western Union, построившей первый трансконтинентальный телеграф в Соединенных Штатах. Прим. ред.

Более подробную информацию о Корнелле, в том числе о его роли в Western Union, см. P. Dorf, The Builder: A Biography of Ezra Cornell (Macmillan, 1952); W. P. Marshall, Ezra Cornell (Kessinger Publishing, 2006); и http://rmc.library.cornell.edu/ezra/index.html, онлайн-выставку в честь 200-летнего юбилея Корнелла.

Древние системы счисления и происхождение десятичной системы обсуждаются в V. J. Katz, A History of Mathematics, 2^>nd edition (Addison Wesley Longman, 1998) и в C. B. Boyer and U. C. Merzbach, A History of Mathematics, 3^>rd edition (Wiley, 2011). О развитии систем счета см. C. Seife, Zero (Viking, 2000), chapter 1.

Прим. ред.: Из огромной литературы по истории математики на русском языке выделим только следующие издания, которые признаны как наиболее фундаментальные в этом разделе математики: Варден, дер. В. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Наука, 1959; Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1967; Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: КомКнига, 2007; История математики. В 3-х томах / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970–1972. Том I. С древнейших времен до начала Нового времени (1970).

Марк Чу-Кэрролл рассматривает некоторые специфические особенности римских чисел и римской арифметики в блоге http://scienceblogs.com/goodmath/2006/08/roman_numerals_and_arithmetic.php.

Увлекательная выставка вавилонской математики описывается в N. Wade, An exhibition that gets to the (square) root of Sumerian math, New York Times (November 22, 2010) на сайте http://www.nytimes.com/2010/11/23/science/23babylon.html, сопровождающее слайд-шоу см. на http://www.nytimes.com/slideshow/2010/11/18/science/20101123-babylon.html.

Это может быть преувеличением. Одну из гипотез о том, как число 60 можно связать с анатомией рук человека, см. в G. Ifrah, The Universal History of Numbers (Wiley, 2000), chapter 9.

Вообще-то от латинского «пальцы» слово «цифра» происходит в английском языке, где слово digit обозначает как цифру, так и палец. В русском языке слово «цифра» происходит от арабского ṣifr — пустой, ничего, нуль. Прим. ред.

Для зануд: Лия действительно на 21 месяц старше Джо.

Ричард Фейнман (1918–1988) — выдающийся американский ученый, основные открытия сделал в области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.

Фейнман рассказывает об остроумном методе Бете возведения в квадрат чисел до 50 в книге R. P. Feynman, Surely, You’re Joking, Mr. Feynman! стр. 193 (W. Norton and Company, 1985).

Прим. ред.: Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! М.: Колибри, 2008.

Ганс Бете (1906–2005) — американский астрофизик, лауреат Нобелевской премии по физике. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.

Получение одинаковых результатов при повышении и понижении стоимости акций на одинаковый процент при колебании цен на фондовом рынке можно доказать математически с помощью умножения 1 + x на 1 — x или геометрически, нарисовав схему, аналогичную используемой Бете для объяснения своего метода. Если у вас есть настроение, в качестве упражнения попробуйте оба подхода.

«Ваш возраст, деленный на два, и плюс семь», — эта формула называется стандартом приемлемой разницы в возрасте партнеров, находящихся в романтических отношениях. Ее можно найти по ссылке http://xkcd.com/314/.

О поиске решений более сложных уравнений, от квадратных до уравнений пятого порядка, ярко и подробно рассказывается в книге M. Livio, The Equation That Couldn’t Be Solved (Simon and Schuster, 2005).

Прим. ред.: Книга для школьников по решению алгебраических уравнений: Самарова С.С. Решение алгебраических уравнений. М.: Резольвента, 2010.

Делос — остров в Эгейском море. Прим. ред.

Дополнительные сведения о классической проблеме удвоения куба можно найти по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html.

Чтобы больше узнать о мнимых и комплексных числах и их применении, а также об их переменчивой истории см. J. Nahin, An Imaginary Tale (Princeton University Press, 1998) и B. Mazur, Imagining Numbers (Farrar, Straus and Giroux, 2003).

Прим. ред.: Среди обширной литературы по комплексным числам укажем только одну из последних книг: Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. М.: МЦНМО, 2002.

Прекрасную журналистскую работу о Джоне Хаббарде можно найти в книге J. Gleick, Chaos, р. 217 (Viking, 1987). Собственный взгляд Хаббарда на метод Ньютона отображен в разделе 2.8 книги J. Hubbard and B. B. Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms, 4^>th edition (Matrix Editions, 2009).

Для читателей, которые хотят углубиться в математический аппарат метода Ньютона, более сложное, но все же довольно понятное объяснение дано в книге H.-O. Peitgen and P. H. Richter, The Beauty of Fractals (Springer, 1986), chapter 6; также см. статью Эдриана Двади (сотрудник Хаббарда), озаглавленную Julia sets and the Mandelbrot set, в этой же книге.

Хаббард не был первым математиком, поставившим вопрос о применении метода Ньютона, в комплексной плоскости. Артур Кэли, британский математик, задал его еще в 1879 году. Он также рассмотрел квадратичный и кубический полиномы и понял, что первый случай гораздо проще, чем второй. Хотя тогда он еще не мог знать о фракталах, которые были обнаружены век спустя, он прекрасно понимал, что есть риск возникновения определенных проблем, если корней окажется больше двух. В его небольшой (на одну страницу) статье Desiderata and suggestions: No.3—the Newton-Fourier imaginary problem, American Journal of Mathematics, 2(1), March 1879, p. 97, с которой можно ознакомиться на сайте http://www.jstor.org/pss/2369201, заключение звучит как сдержанное предупреждение: «Для квадратного уравнения решение легко и элегантно, но представляется, что решение кубического уравнения окажется значительно сложнее».

Снимки, представленные в этой главе, были рассчитаны методом Ньютона, примененного для нахождения корней многочлена z^>3 — 1. Его корни — три кубических корня из 1. Для этого случая в соответствии с алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости выбирается точка z, она и переносит значение корня в новую точку, рассчитанную по формуле

z — (z^>3 — 1)/(3z^>2).

Именно это значение и становится следующим значением z. Данный процесс повторяется, пока z не подходит достаточно близко к корню или, что эквивалентно, пока z^>3 — 1, не подойдет достаточно близко к нулю, где под «достаточно близко» понимается очень маленькое расстояние, выбранное программистом. Затем все исходные точки, которые приводят к определенному корню, окрашиваются в одинаковый цвет. Таким образом, точки красного цвета сходятся к одному корню, точки зеленого — к другому, а синего — к третьему. Снимки окончательного фрактала Ньютона были любезно предоставлены Саймоном Татемом. Дополнительные сведения о его работе вы найдете на странице Fractals derived from Newton-Raphson iteration на сайте: http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/newton/.

Видеоанимация фрактала Ньютона сделана Teamfresh. Потрясающе глубокое масштабирование других фракталов, в том числе знаменитого множества Мандельброта, можно увидеть на сайте Teamfresh по адресу http://www.hd-fractals.com.

Для знакомства с древнеиндийскими методами нахождения квадратного корня см. работу D. W. Henderson and D.Taimina, Experiencing Geometry, 3^>rd edition (Pearson Prentice Hall, 2005).

Прим. ред.: См. также Чистяков В. Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. М.: Учпедгиз, 1960.

В названии автор перефразирует известную фразу из Библии, Псалтырь (22:5) «Ты приготовил предо мною трапезу в виду врагов моих; умастил елеем голову мою; чаша моя преисполнена» (англ. My Сup Runneth Over); оригинальное название главы My Tub Runneth Over. Прим. перев.

Большое количество классических арифметических задач находятся на http://MathNEXUS.wwu.edu/Archive/oldie/list.asp.

Прим. ред.: В русскоязычном интернете очень много сайтов, которые предлагают арифметические задачи для «решателей» разного возраста — от дошкольников до седых ветеранов. Вот несколько из них: Эрудит. net (http://eruditov.net/publ/math/1); Математические задачи — Логика и рассуждения (http://www.smekalka.pp.ru/math_logic.html); Математические задачи (http://www.prostomac.com/tag/matematicheskie-zadachi/); Математика (http://nazva.net/rubric/11/).

Более сложная задача с ванной появилась в драме 1941 года How Green Was My Valley («Как зелена моя долина»). Клип к этому фильму можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/swf/valley.html. И пока вы еще там, посмотрите ролик из комедии о бейсболе Little Big League («Маленькая большая лига»), который можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/m4v/league.m4v.

В этом фильме есть задача о покраске домов: «Если я могу покрасить дом за три часа, а ты — за пять, сколько нам потребуется времени на покраску дома, если мы будем работать вместе?».

На экране мы видим, как бейсболисты дают различные глупые ответы. «Все очень просто, пять умножить на три, так что это пятнадцать». «Нет, нет, нет, посмотрите. Это займет восемь часов: пять плюс три, вот и восемь». После еще нескольких промахов один игрок наконец отвечает правильно: 1⅞ часов.

Родни Дэнджерфилд (1921–2004) — популярный американский комедийный актер. Сниматься стал поздно. Известен благодаря фильмам «Гольф-клуб» (1980), «Легкие деньги» (1983) и «Снова в школу» (1986). Прим. перев.

Книги о великих уравнениях: M. Guillen, Five Equations That Changed the World (Hyperion, 1995); G. Farmelo, It Must Be Beautiful (Granta, 2002) и R. P. Crease, The Great Equations (W.W. Norton and Company, 2009).

Множество подобных примеров обсуждается в статье S. Gandz, The algebra of inheritance: A rehabilitation of al-Khuwarizmi, Osiris, Vol. 5 (1938), рр. 319–391.

Подход Аль-Хорезми к решению квадратных уравнений описан в книге V. J. Katz, A History of Mathematics, 2nd edition (Addison Wesley Longman, 1998), рр. 244–249.

Для простоты выражение x^>2 я назвал функцией, но было бы точнее говорить об отображении x в x^>2. Я надеюсь, что это сокращение не запутает читателя, поскольку подобные надписи мы видим на кнопках калькулятора.

Рекламный ролик о функциях водяных струй в аэропорту Детройта, созданный WET Design, можно посмотреть на сайте http://www.youtube.com/watch?v=VSUKNxVXE4E.

Уилл Хоффман и Дерек Бойл сняли интригующее видео о параболах и их экспоненциальных кузинах, кривых, называемых цепной линией (линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь, — отсюда и название). См. WNYC/NPR Radio Lab presents Parabolas (etc.) на сайте http://www.youtube.com/watch?v=rdSgqHuI-mw.

41. Историю о приключениях Бритни Галливан со складыванием бумаги см. в B. allivan, How to fold a paper in half twelve times: An ‘impossible challenge’ solved and explained, Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002 на сайте http://pomonahistorical.org/12times.htm.

Здесь речь идет о том, что если процентная ставка депозита выше ставки по кредиту, то через несколько лет сумма на депозите может погасить сумму кредита. Прим. ред.

Как правило логарифм по основанию 10 записывают как lg, но на калькуляторе кнопка «log x» обозначает десятичный логарифм. Прим. ред.

42. Для справок и дальнейшего обсуждения нотных гамм и нашего (почти) логарифмического восприятия высоты звука см. J. H. McDermott and A. J. Oxenham, Music perception, pitch, and the auditory system, Current Opinion in Neurobiology, Vol. 18 (2008), pp. 1–12 на http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_(music); http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_scale; и http://en.wikipedia.org/wiki/Piano_key_frequencies.

Для подтверждения того, что наше врожденное арифметическое мышление также и логарифмическое см. S. Dehaene, V. Izard, E. Spelke, and P. Pica, Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures, Science, Vol. 320 (2008), pp. 1217–1220 на сайте http://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm.

Прим. ред.: О связи математики и музыки см. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000. Эта книга не только для тех, кто любит математику или искусство, но и для тех, кто желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. Настоятельно рекомендую эту книгу.

Оказывается, древние вавилоняне, индийцы и китайцы уже за несколько веков до Пифагора и греков обладали знаниями, содержащимися в теореме Пифагора. Для получения дополнительных сведений об истории и значении теоремы, а также обзор множества ее изобретательных доказательств см. книгу E. Maor, The Pythagorean Theorem (Princeton University Press, 2007).

Прим. ред.: Аналогом данной книги на русском языке может служить книга Литцман В. Теорема Пифагора. М.: ГИФМЛ, 1960.

На странице 13 своей книги Маор объясняет, что слово «гипотенуза» означает «натянутая под», и указывает, что это имеет смысл, если считать, что гипотенуза прямоугольного треугольника находится внизу (см. евклидово доказательство теоремы Пифагора). Он также отмечает, что эта интерпретация хорошо вписывается в китайское слово, обозначающее гипотенузу, «сянь» (hsien) — струна, натянутая между двумя точками (как в лютне).

Дети и их родители насладятся съедобными иллюстрациями теоремы Пифагора, предложенными Джорджем Хартом на его постере Pythagorean crackers («Пифагорейские крекеры») для музея математики по адресу http://momath.org/home/pythagorean-crackers/.

Вот рассуждения, пропущенные во втором доказательстве. Возьмем равенство a/d = c/a и преобразуем его в d = a^>2/c. Аналогично преобразуя другое равенство, получим e = b^>2/c. Наконец, подставив выражения для d и e в равенство c = d + e, получим c = a^>2/c + b^>2/c. Теперь умножим обе части последнего равенства на c и выведем искомую формулу c^>2 = a^>2 + b^>2.

Георг Риман (1826–1866) — немецкий математик. Внес огромный вклад сразу в несколько разделов математической науки. Положил начало геометрическому направлению в теории аналитических функций, вместе с Огюстеном Коши сформулировал теорию интегралов. Развил комплексный анализ и теорию чисел. Прим. перев.

Все 13 книг Elements в одном удобном томе с большим количеством иллюстраций: Euclid’s Elements, edited by D. Densmore, (Green Lion Press, 2002). Еще один отличный перевод в формате PDF: http://farside.ph.utexas.edu/euclid.html.

Прим. ред.: В английской традиции книги Евклида называются Elements («Элементы»), в отличие от русской традиции, где книги Евклида имеют название «Начала». Русское полное издание «Начал» Евклида: Начала Евклида. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. В 3 т. (Серия «Классики естествознания»). М.: ГТТИ, 1948–50.

Бенедикт Спиноза (1632–1677) — нидерландский философ-материалист, натуралист, один из главных представителей философии Нового времени. Считал, что мир — закономерная система, которая до конца может быть познана геометрическим методом. Прим. перев.

Дополнительные сведения о Томасе Джефферсоне, о его преклонении перед Евклидом и Ньютоном и использовании им аксиоматического подхода при написании Декларации независимости, можно найти в книге I. B. Cohen, Science and the Founding Fathers, (W. W. Norton and Company), 1995 и J. Fauvel, Jefferson and mathematics на http://www.math.virginia.edu/Jefferson/jefferson.htm.

В этой главе я умолчал о ряде тонкостей в двух представленных доказательствах. Например, в доказательстве о равностороннем треугольнике неявно предполагается (как сделал Евклид), что две окружности пересекаются в какой-то определенной точке, которую мы обозначили С. Но нет никаких аксиом Евклида, подтверждающих это свойство, — нужна дополнительная аксиома о непрерывности окружностей. Бертран Рассел, в частности, отметил этот пробел в статье B. Russell, The Teaching of Euclid, Mathematical Gazette, Vol. 2, No. 33 (1902), рр. 165–167, доступна по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Extras/Russell_Euclid.html.

Другая тонкость в доказательстве того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, заключается в безоговорочном использовании постулата о пересечении параллельных прямых третьей. Этот постулат позволил нам построить линию, параллельную основанию треугольника. Но в другой геометрии (неевклидовой) может не быть ни одной линии, параллельной заданной, или существовать бесконечно много таких линий. В геометриях, столь же логически последовательных, как и Евклидова, углы треугольника не всегда равны 180 градусам. Таким образом, приведенное здесь доказательство Пифагора больше чем просто элегантное, оно говорит о глубинной природе самого пространства. Для получения дополнительных комментариев по этим вопросам см. блог A. Bogomolny, Anglesin triangle add to 180°: http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/AnglesInTriangle.shtml и статью T. Beardon, When the angles of a triangle don’t add up to 180 degrees по адресу http://nrich.maths.org/1434.

Дарт Вейдер и Люк Скайуокер — персонажи культовой саги Джорджа Лукаса «Звездные войны». Прим. перев.

Теория заговора — взгляд на некоторые общественно-значимые события или ход истории в целом как на результат заговора со стороны определенной группы людей, управляющих этим процессом из корысти, амбиций или иных интересов. Прим. ред.

Информацию о конических сечениях и ссылки на обширную литературу о них см. http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html и http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section.

Прим. ред.: О конических сечениях популярно: И. Н. Бронштейн. Общие свойства конических сечений // Квант. 1975. № 5. О конических сечениях для читателей с математической подготовкой: Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. М.: МЦНМО, 2007.

Вы сможете дать разгуляться своей интуиции, наблюдая за онлайн-анимацией, созданной Лу Талманом, и обсудить свои идеи на его странице The geometry of the conic sections («Геометрия конических сечений»).

График, представленный в главе, сделан для города Юпитер (США, Флорида) в 2011 году. Для удобства время восходов и заходов Солнца фиксировалось по Североамериканскому восточному времени (часовой пояс UTC -05:00) в течение всего года, чтобы избежать искусственного перерыва, вызванного переходом на летнее время.

Студентов удивляют подобные графики (например, некоторые из них ожидают увидеть кривые, похожие на треугольники, а не на округлые и гладкие кривые), что можно использовать для полезных классных занятий в старшей или средней школе. С педагогической целью см. статью A. Friedlander and T. Resnick, Sunrise, sunset, Montana Mathematics Enthusiast, Vol. 3, No. 2 (2006), рр. 249–255, которая доступна по адресу http://www.math.umt.edu/tmme/vol3no2/TMMEvol3no2_Israel_pp249_255.pdf.

Вывести формулы для времени восхода и захода солнца сложно, для этого понадобятся и математика, и физика. См., например, страницу T. L. Watts’s webpage Variation in the time of sunrise на http://www.physics.rutgers.edu/~twatts/sunrise/sunrise.html.

Предмет, любовно исследованный в книге E. Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.

Прим. ред.: Русский источник по тригонометрии: Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. М.: МЦНМО, 2002.

Широкий обзор закономерностей в природе дан в P. Ball, The Self-Made Tapestry, Oxford University Press, 1999. Математические методы для этой области представлены в работе R. Hoyle, Pattern Formation, Cambridge University Press, 2006. Математический анализ полосок зебры, рисунков на крылышках бабочек и другие биологические примеры формообразования найдете в J. D. Murray, Mathematical Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications, 3^>rd edition, Springer, 2003.

Связи между биологическим и космологическим структурообразованием — одна из многих радостей, которые можно найти в книге Janna Levin, How the Universe Got Spots, Princeton University Press, 2002, составленной из как будто неотправленных писем к матери. В книге математические и физические идеи изящно переплетаются с личным дневником молодого ученого, только начинающего научную деятельность.

Для ознакомления с понятиями инфляционной космологии следует обратиться к двум статьям Stephen Battersby: Introduction: Cosmology, New Scientist (September 4, 2006) по адресу http://www.newscientist.com/article/dn9988-introduction-cosmology.html и Best ever map of the early universe revealed, New Scientist, (March 17, 2006) по адресу http://www.newscientist.com/article/dn8862-best-ever-map-of-the-early-universe-revealed.html.

Аргументы в пользу инфляционной космологии остаются спорными. Ее сильные и слабые стороны рассматриваются в статье P. J. Steinhardt, The inflation debate: Is the theory at the heart of modern cosmology deeply flawed? Scientific American, (April 2011), pp.18–25.

Здесь описана одна из апорий Зенона, которая называется «Ахиллес и черепаха». Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее черепахи и находится позади нее на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползет еще десять шагов, и т. д. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху. Прим. ред.

История философии и ее интеллектуальное наследие — парадоксы Зенона, обсуждаются в книге J. Mazur, Zeno’s Paradox, Plume, 2008.

Прим. ред.: Русскоязычный аналог: Асмус В. Ф. История античной философии. М.: Высшая школа, 1965.

О восхитительно своевольной и остроумной истории числа π можно узнать из книги P. Beckmann, A History of Pi (St. Martin’s Press, 1976).

Кто хочет посмотреть математическое обоснование Архимедова метода исчерпывания, обратитесь к http://personal.bgsu.edu/~carother/pi/Pi3a.html.

Все, кто интересуется героическими вычислениями π до очень высокой степени точности, должны воспользоваться страничкой Ричарда Престона о братьях Чудновских. Эта нежная и удивительно смешная история под названием The mountains of pi («Горы “пи”») появилась в номере еженедельного журнала New Yorker от 2 марта 1992 года; ее можно прочитать в вышедшей позднее книге R. Preston, Panic in Level Four (Random House, 2008).

Учебник, дающий представление об основных методах численного анализа: W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes, 3^>rd edition, Cambridge University Press, 2007.

Прим. ред.: Среди огромной литературы по методам численного анализа выделим только одну книгу, которая подойдет и для начинающих математиков: Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

«Перемены, в которые мы можем поверить» (англ. Change We Can Believe In) — лозунг предвыборной кампании Барака Обамы. Прим. перев.

В русском языке слово «исчисление» без соответствующих прилагательных почти не применяется, а с прилагательными это интегральное и дифференциальное исчисление или исчисление бесконечно малых. Вместе с тем в большинстве словарей исчисление определяется как формальный аппарат, система правил оперирования со знаками. В английском языке слово calculus (исчисление) понимается именно в таком расширенном толковании как «система правил…». Если у кого-то из читателей слово «исчисление» (без прилагательных) будет вызывать удивление или неприятие, то его можно мысленно заменять на «математический анализ». В данной главе при упоминании исчисления в основном подразумевается дифференциальное исчисление. Прим. ред.

См. M. Bressoud, The crisis of calculus, Mathematical Association of America (April 2007), доступно на http://www.maa.org/columns/launchings/launchings_04_07.html.

То есть дифференциальное и интегральное исчисление. Прим. ред.

Для коллекции господина Жоффрея различные задачи вычислительного характера, как классические, так и авторские, см. S. Strogatz, The Calculus of Friendship (Princeton University Press, 2009).

Несколько статей, видео и сайтов приводят подробные сведения о законе Снелла и его вывод из принципа Ферма (который утверждает, что свет идет по пути с минимальным временем движения). См. M. Golomb, Elementary proofs for the equivalence of Fermat’s principle and Snell’s law, American Mathematical Monthly, Vol. 71, № 5 (May 1964), pp. 541–543 и сайт http://en.wikibooks.org/wiki/Optics/Fermat%27s_Principle.

Принцип Ферма был предтечей более общего принципа наименьшего действия. Для его развлекательного и глубоко поучительного обсуждения, в том числе в квантовой механике, см. книгу R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The principle of least action, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2, chapter 19 (Addison-Wesley, 1964), и R. Feynman, QED (Princeton University Press, 1988).

Прим. ред.: Русский перевод последней книги: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 2. М.: Мир, 1965.

Здесь речь идет об удивительном предположении Фейнмана о том, что природа на самом деле пробует все возможные пути. Однако почти все они компенсируют друг друга через квантовый аналог разрушительных помех, за исключением тех, которые очень близки к классическому пути, где действия сведены к минимуму (или, точнее, к стационарным значениям). Тогда квантовая интерференция становится конструктивной, и, скорее всего, будет выбран именно этот путь. Поэтому, по оценке Фейнмана, природа подчиняется принципу минимума. Важно то, что мы живем в макроскопическом мире повседневного опыта, где массы и взаимодействия колоссальны по сравнению с постоянной Планка. При таком классическом ограничении квантовая деструктивная интерференция становится чрезвычайно сильной и уничтожает почти все, что могло бы случиться.

Хоть ломтиками, хоть кубиками (It Slices, It Dices) — это выражение было слоганом рекламной кампании на телевидении одного из первых (если не первого) кухонных комбайнов торговой марки Veg-O-Matic, выпущенного в 1961 году. Комбайн мог измельчать продукты в виде ломтиков и кубиков. Позже это выражение вошло в обиход в значении «быть многофункциональным». Прим. перев.

Более подробную информацию о том, как интегральное исчисление помогает ученым, борющимся с раком, см. D. Mackenzie, Mathematical modeling of cancer, SIAM News, Vol. 37 (January/February 2004), и H. P. Greenspan, Models for the growth of a solid tumor by diffusion, Studies in Applied Mathematics (December 1972), pp. 317–340.

В математической литературе два одинаковых круглых цилиндра, оси которых пересекаются под прямым углом, называются по-разному: тело Штейнмеца, или бицилиндр. Для подготовленного читателя см. http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html и http://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid. На страничке «Википедии» тоже есть очень полезная компьютерная анимация, которая показывает, как из пересекающихся цилиндров появляется призрачное тело Штейнмеца. Его объем современными методами можно рассчитать прямолинейно, но не прозрачно.

Архимед и Цзу Чунчжи знали более простое решение с использованием метода нарезки на кусочки и сравнения площадей квадрата и круга. Удивительно ясное изложение представлено в Martin Gardner’s column Mathematical games: Some puzzles based on checkerboards, Scientific American, Vol. 207 (November 1962), p. 164. Об Архимеде и Цу Чунчжи см. Archimedes, The Method, English translation by T. L. Heath (1912), reprinted by Dover (1953); и T. Kiang, An old Chinese way of finding the volume of a sphere, Mathematical Gazette, Vol. 56 (May 1972), pp. 88–91.

Мортон Мур отмечает, что бицилиндр также нашел применение в архитектуре: «Римляне и норманны при возведении цилиндрических сводов зданий были знакомы с геометрией пересекающихся цилиндров, где при пересечении двух таких сводов формировался крестообразный свод». Об этом и применении бицилиндров в кристаллографии см. M. Moore, Symmetrical intersections of right circular cylinders, Mathematical Gazette, Vol. 58 (October 1974), pp. 181–185.

Интерактивная демонстрация бицилиндров и других задач интегрального счисления доступна онлайн на The Wolfram Demonstrations Project (http://demonstrations.wolfram.com/). Чтобы с ними поиграть, нужно загрузить бесплатный интерактивный Mathematica Player (http://www.wolfram.com/products/player/), который в дальнейшем позволит вам исследовать сотни других интерактивных примеров из всех разделов математики. Наглядную демонстрацию бицилиндра см. на The bicylinder demo по адресу http://demonstrations.wolfram.com/IntersectingCylinders/.

Мамикон Мнацаканян на сайте Калифорнийского технологического института (Caltech) представил серию анимаций, иллюстрирующих Архимедов метод разбиения на кусочки и его мощь. Моя любимая страничка: http://www.its.caltech.edu/~mamikon/.

На Sphere.html изображены красивые отношения между объемами сферы и двойного конуса и цилиндра, чьи высота и радиус совпадают с радиусом сферы. Это же более наглядно можно увидеть, виртуально сливая воду из цилиндра в две другие формы, см. http://www.its.caltech.edu/~mamikon/SphereWater.html.

Такие же элегантные механические аргументы на службе у математики приведены в работе M. Levi, The Mathematical Mechanic (Princeton University Press, 2009).

Обращаем ваше внимание на то, что на этом рисунке изображена только половина тела пересечения. Прим. ред.

Применение механического метода Архимеда к задаче нахождения объема бицилиндра см. T. L. Heath, ed., Proposition 15, The Method of Archimedes, Recently Discovered by Heiberg (Cosimo Classics, 2007), р. 48.

На странице 13 этого же тома Архимед признается, что рассматривает свой механический метод как средство для поиска теорем, а не их доказательства: «Некоторые вещи сначала мне стали ясны благодаря механическому методу, хотя в дальнейшем они должны были бы быть представлены средствами геометрии, потому что их исследование механическим методом фактически было просто демонстрацией. Но, конечно, найти доказательство проще, заранее получив некоторые знания по этому вопросу, чем если их не иметь».

Популярное изложение работы Архимеда см. R. Netz and W.Noel, The Archimedes Codex (Da Capo Press, 2009).

Фундаментальная теорема интегрального исчисления — теорема Ньютона — Лейбница. Далее цитата из «Википедии»: «Теорема Ньютона — Лейбница утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Точнее, это касается значения первообразных для определенных интегралов. Поскольку, как правило, легче вычислить первообразную, чем применять формулу определенного интеграла, теорема дает практический способ вычисления определенных интегралов. Она также может быть интерпретирована как точное утверждение о том, что дифференцирование является обратной операцией интегрирования.

Теорема гласит: если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и F есть функция, производная которой равна f на интервале (a, b), то:

Кроме того, для любого x из интервала (a, b)

По сути, в этой аналогии говорится о том, что если вы можете найти первообразную для подынтегральной функции, то определенный интеграл от нее равен разности первообразной в точках — пределах интегрирования. Прим. ред.

См. примечание переводчика о заголовке главы. Прим. ред.

«Зелиг» — кинофильм режиссера Вуди Аллена (1983), действие которого происходит в Америке 1920–1930-х годов. В фильме рассказывается о необычном еврее по фамилии Зелиг, умеющем перевоплощаться в людей, с которыми он общается. Прим. перев.

Все ипостаси числа e и экспоненциальной функции представлены в книге E. Maor, e: The Story of a Number (Princeton University Press, 1994). Читатели, которые знакомы с интегральным исчислением, насладятся статьей B. J. McCartin, e: The master of all, Mathematical Intelligencer, Vol. 28, № 2 (2006), pp. 10–21. PDF-версия доступна по адресу http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Chauvenet/mccartin.pdf.

«Упаковочный» коэффициент для пар, случайно рассаживающихся в кинотеатре, в научной литературе был изучен на других примерах. Он впервые возник в органической химии, см. P. J. Flory, Intramolecular reaction between neighboring substituents of vinyl polymers, Journal of the American Chemical Society, Vol. 61 (1939), pp. 1518–1521. Более современное изучение этого вопроса относится к проблеме случайной парковки, классическим головоломкам в теории вероятностей и статистической физике, см. W. H. Olson, A Markov chain model for the kinetics of reactant isolation, Journal of Applied Probability, Vol. 15, № 4 (1978), pp. 835–841.

100

Вопрос о том, когда прекращать перебирать партнеров и останавливать выбор на будущем супруге, изучался в различных формах и имеет различные названия: задача о невесте, задача о вступлении в брак, задача о капризном поклоннике, задача о выкупе султана за невесту. Но наиболее распространенное в настоящее время название — это задача секретаря. (Воображаемый сценарий найма лучшего секретаря из данного списка кандидатов. Вы беседуете с каждым претендентом по отдельности и должны решить, берете ли вы его на работу или прощаетесь навсегда). Для ознакомления с этой замечательной математической головоломкой и ее историей см. http://mathworld.wolfram.com/SultansDowryProblem.html и http://en.wikipedia.org/wiki/Secretary_problem. Для дополнительных сведений обратитесь к статье T. S. Ferguson, Who solved the secretary problem? Statistical Science, Vol. 4, № 3 (1989), pp. 282–289. Понятное изложение решения этой задачи можно найти по адресу http://www.math.uah.edu/stat/urn/Secretary.html. Для лучшего ознакомления с теорией оптимальных правил остановки см. T. P. Hill, Knowing when to stop: How to gamble if you must — the mathematics of optimal stopping, American Scientist, Vol. 97 (2009), pp. 126–133.

101

«Мужчина нарасхват» — кинофильм режиссера Габриэле Муччино (2012). Звезда футбола и просто шикарный мужчина (Джерард Батлер) по воле случая становится тренером детской футбольной команды. С этого момента для своих подопечных и их обольстительных мамочек он мужчина нарасхват. Прим. перев.

102

Модели любовных отношений, основанные на дифференциальных уравнениях, см. S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus, 1994).

103

Анаграмму Ньютона см. V. I. Arnold, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations (Springer, 1994).

104

Хаос в задаче о трех телах обсуждается в I. Peterson, Newton’s Clock (W.H. Freeman, 1993).

105

Эдмунд Галлей (1656–1742) — английский астроном и геофизик. Главные достижения — создание метода расчета кометных орбит и открытие периодичности некоторых комет. Знаменитая комета Галлея названа в его честь. Прим. перев.

106

Цитату о том, как задача о трех телах вызывала головную боль у Ньютона, см. D. Brewster, Memoirs of the Life, Writings, and Discoveries of Sir Isaac Newton (Thomas Constable and Company, 1855), Vol. 2, p. 158.

107

«Выйди на свет» (Step into the Light) — название популярной песни австралийского певца Даррена Хейса. Прим. перев.

108

Прекрасная возможность познакомиться с векторным исчислением и уравнениями Максвелла и, вероятно, самый лучший учебник, который я когда-либо изучал: E. M. Purcell, Electricity and Magnetism, 2^>nd edition (Cambridge University Press, 2011). Еще классика: H. M. Schey, Div, Grad, Curl, and All That, 4^>th edition (W. W. Norton and Company, 2005).

109

Эти слова были написаны во время празднования 150-летней годовщины книги Максвелла «О физических силовых линиях», увидевшей свет в 1861 году, см. Part III. The theory of molecular vortices applied to statical electricity, Philosophical Magazine (April and May, 1861), pp. 12–24, доступно по адресу http://en.wikisource.org/wiki/On_Physical_Lines_of_Force. Отсканированная копия оригинала представлена на http://www.vacuum-physics.com/Maxwell/maxwell_oplf.pdf.

На оригинал стоит взглянуть. Кульминационная точка находится чуть ниже уравнения 137, где Максвелл, трезвый человек, не склонный к театральности, не удержался и выделил курсивом самый революционный вывод в своей работе: «Скорость поперечного волнового движения нашей гипотетической среды, вычисленная на основании электромагнитных экспериментов М. Кольрауша и Вебера, согласуется с такой точностью со скоростью света, вычисленной на основании оптических экспериментов М. Физо, что мы едва ли можем избежать вывода, что свет состоит из поперечного волнового движения той же среды, которая является причиной электрических и магнитных явлений».

110

Работу Джейн Ван о полете стрекозы см. Z. J. Wang, Two dimensional mechanism for insect hovering, Physical Review Letters, Vol. 85, № 10 (September 2000), pp. 2216–2219; Z. J. Wang, Dragonfly flight, Physics Today, Vol. 61, № 10 (October 2008), p. 74.

Видео полета стрекозы см. по адресу http://ptonline.aip.org/journals/doc/PHTOAD-ft/vol_61/iss_10/74_1.shtml.

111

Оказывается, Эйнштейн тоже хотел быть мухой в кабинете Максвелла, как он писал в 1940 году: «Представьте себе чувства [Максвелла], когда дифференциальные уравнения, которые он сформулировал, доказали ему, что электромагнитные поля распространяются в виде поляризованных волн со скоростью света! Только несколько человек в мире удостоились чести испытать такое». См. в A. Einstein, Considerations concerning the fundaments of theoretical physics, Science, Vol. 91 (May 24, 1940), pp. 487–492 (доступно на http://www.scribd.com/doc/30217690/Albert-Einstein-Considerations-Concerning-the-Fundaments-of-Theoretical-Physics).

112

Уравнения Максвелла часто позиционируются как торжество чистого разума, но Саймон Шаффер, историк науки из Кембриджа, утверждает, что их появление в равной степени было обусловлено насущной технологической проблемой того времени — проблемой передачи сигналов по подводным телеграфным кабелям. См. S. Schaffer, The laird of physics, Nature, Vol. 471 (2011), pp. 289–291.

113

Новейшие исследования в области данных см. в работах S. Baker, The Numerati (Houghton Mifflin Harcourt, 2008); I. Ayres, Super Crunchers (Bantam, 2007).

114

Как специалисты по спортивной статистике жонглируют цифрами, см. M. Lewis, Moneyball (W. W. Norton and Company, 2003).

115

См. N. G. Mankiw, A course load for the game of life, New York Times (September 4, 2010).

116

См. D. Brooks, Harvard-bound? Chin up, New York Times (March 2, 2006).

117

Введение в статистику вместе с захватывающими историями найдете в книгах D. Salsburg, The Lady Tasting Tea (W. H. Freeman, 2001); L. Mlodinow, The Drunkard’s Walk (Pantheon, 2008).

Прим. ред.: Введение в статистику на русском языке: Положинцев Б.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Введение в математическую статистику: Учебное пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010; Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Экзамен, 2004.

118

Если вы не знакомы с доской Гальтона, можете посмотреть опыты с ней на YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=xDIyAOBa_yU.

119

Данные о распределении роста населения США см. в статье M. A. McDowell et al., Anthropometric reference data for children and adults: United States, 2003–2006, National Health Statistics Reports, № 10 (October 22, 2008), доступна на http://www.cdc.gov/nchs/data/nhsr/nhsr010.pdf.

120

OkCupid — самый большой бесплатный сайт знакомств в США, который летом 2011 года насчитывал семь миллионов активных пользователей. Специалисты сайта в области статистики проводят собственный анализ на основе анонимных и обобщенных данных его клиентов, а затем публикуют результаты исследований в своем блоге OkTrends (http://blog.okcupid.com/index.php/about/). Распределения роста см. C. Rudder, The big lies people tell in online dating, на http://blog.okcupid.com/index.php/the-biggest-lies-in-online-dating/. Я благодарю Кристиана Раддера за любезно предоставленную возможность использовать графики, приведенные в его блоге.

121

Введение в эту тему великолепно изложено в статье Марка Ньюмана M. Newman, Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law, Contemporary Physics, Vol. 46, № 5 (2005), pp. 323–351. В ней приводятся графики частотности слов в романе Германа Мелвилла «Моби Дик», магнитуды землетрясений в Калифорнии в период с 1910 по 1992 год, размеры собственного имущества 400 богатейших людей США в 2003 году, а также множество других распределений «с тяжелым хвостом», упомянутых в этой главе. Более раннее, но заслуживающее внимания исследование степенной зависимости см. M. Schroder, Fractals, Chaos, Power Laws (W. H. Freeman, 1991).

122

Пример взят из работы C. Seife, Proofiness (Viking, 2010). Приведенные в тексте цифры основаны на анализе, проведенном группой FactCheck.org (независимый проект Центра государственной политики Анненберг Университета Пенсильвании), доступен на http://www.factcheck.org/here_we_go_again_bush_exaggerates_tax.html. Этот анализ опубликован независимым Центром налоговой политики W. G. Gale, P. Orszag and I. Shapiro, Distributional effects of the 2001 and 2003 tax cuts and their financing, http://www.taxpolicycenter.org/publications/url.cfm?ID=411018.

123

См. B. Mandelbrot and R. L. Hudson, The (Mis)Behavior of Markets (Basic Books, 2004) и N. N. Taleb, The Black Swan (Random House, 2007).

124

Условные вероятности и теорема Байеса подробно рассмотрены в учебнике S. M. Ross, Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists, 4^>th edition (Academic Press, 2009). О Байесе и полемике вокруг его подхода к вероятностным выводам см. S. B. McGrayne, The Theory That Would Not Die (Yale University Press, 2011).

Прим. ред.: На русском языке: Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование, 2005. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

125

Ответ на вопрос А: 59 %. Ответ на вопрос В: 27/41, или приблизительно 65,85 %. Чтобы прийти к таким результатам, возьмите 100 растений и подсчитайте на основе данных задачи, сколько из них (в среднем) были или не были политы и сколько погибнут или уцелеют.

126

Анализ результатов маммографии описан в главе 4 книги G. Gigerenzer, Calculated Risks (Simon and Schuster, 2002).

127

Вы найдете множество забавных историй об условной вероятности и ее применении в реальном мире, а также о ее неверном восприятии в книгах J. Paulos, Innumeracy (Vintage, 1990); L. Mlodinow, The Drunkard’s Walk (Vintage, 2009).

128

Подробнее об истории О. Дж. Симпсона и спорах об избиении им жены см. главу 8 книги Gigerenzer, Calculated Risks. Оценки относительно судебного процесса над О. Дж. Симпсоном и выводы Алана Дершовица о количестве женщин, избитых и впоследствии убитых партнерами, см. A. Dershowitz, Reasonable Doubts (Touchstone, 1997), рр. 101–104.

Теория вероятности впервые была применена правильно в ходе процесса Симпсона в 1995 году. Анализ, приведенный в этой главе, опирается на работы I. Good, When batterer turns murderer, Nature, Vol. 375 (1995), p. 541; When batterer becomes murderer, Nature, Vol. 381 (1996), р. 481. Анализ, проведенный Гудом, построен на относительных рисках и теореме Байеса, а не на интуитивном подходе, базирующемся на натуральных числах и используемом в работе Гигеренцера. (Кстати, карьера Гуда весьма интересна. Помимо значительного вклада в теорию вероятностей и статистику, основанную на методах Байеса, он помог в расшифровке кодов нацистской шифровальной машины «Энигма» во время Второй мировой войны и ввел футуристическое понятие, которое сегодня известно как «технологическая сингулярность».)

Анализ независимых экспертов, пришедших практически к такому же заключению, опубликован в 1995 году в работе J. F. Merz and J. P. Caulkins, Propensity to abuse — propensity to murder? Chance, Vol. 8, № 2 (1995), р. 14.

129

Каким образом Дершовиц пришел к выводу, что среди лиц, избивающих своих партнеров, менее 1 из 2500 убивают их? На странице 104 его книги Reasonable Doubts приведены следующие цифры: в 1992 году в США от 2,5 до 4 миллионов женщин подвергались избиению со стороны мужей, любовников и бывших любовников. В том же году, согласно отчетам ФБР об уровне преступности (http://www.fbi.gov/about-us/cjis/ucr/ucr), 913 женщин были убиты своими мужьями, а еще 519 — своими любовниками или бывшими любовниками. Если разделить общее количество убийств 1432 на 2,5 миллиона избитых женщин, то выйдет 1 убийство на 1746 избиений, а если принимать во внимание верхний порог числа избиений в 4 миллиона, то в результате получим одно убийство на 2793 избиений. Очевидно, что среди этих крайних показателей Дершовиц выбрал значение 2500.

Однако остается неясным, какая доля убитых женщин подвергалась при жизни избиениям со стороны этих мужчин. Вероятно, Дершовиц предполагал, что практически всех жертв убийств при жизни избивали, и, скорее всего, сделал вывод, что даже если эти цифры несколько преувеличены, они все равно «бесконечно малы».

130

Согласно отчетам ФБР об уровне преступности, 4936 женщин были убиты в 1992 году. Среди них 1432 (около 29 %) убиты мужьями или любовниками. Оставшиеся 3504 пострадали от рук кого-то другого. Следовательно, принимая во внимание, что в США на тот период проживало около 125 миллионов женщин, доля тех, кто стал жертвами убийства со стороны лиц, не являвшихся их партнерами, составила 3504 на 125 миллионов, или 1 убийство на 35 673 женщин в год.

Предположим, что эта доля убийств одинакова для всех женщин независимо от того, избивали их при жизни или нет. Тогда делим 100 тысяч избиваемых женщин из нашей гипотетической выборки на 35 673 и в результате получаем 2,8 женщин, то есть столько убито лицами, которые не являлись их партнерами. Округлив 2,8 до 3, получаем оценку, приведенную в данной работе.

131

Введение в поиск в интернете и анализ ссылок см. D. Easley and J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets (Cambridge University Press, 2010). Популярное изложение истории поиска в сети, рассказ о его основных действующих лицах и компаниях ищите в J. Battelle, The Search (Portfolio Hardcover, 2005). Тем, кто хорошо знаком с линейной алгеброй, будет интересна история развития анализа ссылок в статье S. Robinson, The ongoing search for efficient Web search algorithms, SIAM News, Vol. 37, № 9 (2004).

132

Если вас смутило использованное мной слово «кузнечик», поясню, что этим ласковым именем называют ученика, которому еще предстоит многому научиться у мастера дзен. В телесериале «Кунг-фу» слепой монах По учит мудрости своего ученика Кэйна и на первом уроке называет его кузнечиком.

Мастер По. Закрой глаза. Что ты слышишь?

Юный Кэйн. Я слышу воду. Я слышу пение птиц.

По. Слышишь ли ты, как бьется твое сердце?

Кэйн. Нет.

Мастер По. Слышишь ли ты кузнечика, что стрекочет у твоих ног?

Кэйн. Старик, как тебе удается слышать все это?

По. Юноша, как ты умудряешься этого не слышать?

133

Признание существования проблемы замкнутого круга для ранжирования веб-страниц, а также ее решение с помощью линейной алгебры вылилось в два направления исследований, опубликованных в 1998 году. Одно было проведено моим коллегой по Корнуолльскому университету Джоном Клейнбергом, который впоследствии стал экспертом исследовательского центра IBM Almaden Research Center. Его исследование посвящено алгоритму HITS (альтернативной форме анализа ссылок, появившейся немного раньше, чем алгоритм PageRank от Google), см. J. Kleinberg, Authoritative sources in a hyperlinked environment, Proceedings of the Ninth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (1998).

Вторая линия исследований проводилась основателями Google Ларри Пейджем и Сергеем Брином. В основе их алгоритма PageRank лежало количество времени, которое случайный пользователь сети будет проводить на каждой странице. Этот процесс описывается по-иному, но приводит все к той же проблеме замкнутого круга. Обоснования метода PageRank даны в статье S. Brin and L. Page, The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine, Proceedings of the Seventh International World Wide Web Conference (1998), рр. 107–117.

Как это часто случается в науке, поразительно похожие предвестники этих идей уже были открыты в других ее областях. С предысторией появления PageRank в библиометрике, психологии и социологии можно ознакомиться в статье М. Franceschet, PageRank: Standing on the shoulders of giants, Communications of the ACM, Vol. 54, № 6 (2011), доступной на http://arxiv.org/abs/1002.2858, а также S. Vigna, Spectral ranking, на http://arxiv.org/abs/0912.0238.

134

Введение в линейную алгебру и способы ее применения в различных областях науки прекрасно изложены в книге G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 4th edition (Wellesley-Cambridge Press, 2009).

135

Некоторые наиболее впечатляющие области применения линейной алгебры описаны в работе D. James, М. Lachance, and J. Remski, Singular vectors’ subtle secrets, College Mathematics Journal, Vol. 42, № 2 (March 2011), рр. 86–95.

136

Согласно Google, термин PageRank происходит от имени Ларри Пейджа, а не от английского слова webpage (веб-страница). См. http://web.archive.org/web/20090424093934/http://www.google.com/press/funfacts.html.

137

Эта идея основана на том, что лицо человека представляет собой комбинацию небольшого числа его основных компонентов. Впервые линейная алгебра была применена для распознавания лиц в работе L. Sirovich and М. Kirby, Low-dimensional procedure for the characterization of human faces, Journal of the Optical Society of America A, Vol. 4 (1987), рр. 519–524 и получила дальнейшую разработку в исследовании М. Turk and A. Pentland, Eigenfaces for recognition, Journal of Cognitive Neuroscience, Vol. 3 (1991), рр. 71–86, доступном на http://cse.seu.edu.cn/people/xgeng/files/under/turk91eigenfaceForRecognition.pdf.

Полный список работ, посвященных этой проблеме, см. на главной странице сайта Face Recognition (http://www.face-rec.org/interesting-papers/).

138

См. L. Sirovich, A pattern analysis of the second Rehnquist U.S. Supreme Court, Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol. 100, № 13 (2003), рр. 7432–7437. Этому исследованию посвящена статья N. Wade, A mathematician crunches the Supreme Court’s numbers, New York Times (June 24, 2003). Следующая работа предназначена для специалистов в области права и написана математиком и профессором права: P. H. Edelman, The dimension of the Supreme Court, Constitutional Commentary, Vol. 20, № 3 (2003), рр. 557–570.

139

Историю приза компании Netflix, а также интересные подробности о первых претендентах на него читайте в статье C. Thompson, If you liked this, you’re sure to love that — Winning the Netflix prize, New York Times Magazine (November 23, 2008). Победитель был определен в сентябре 2009 года, через три года после начала соревнования, см. S. Lohr, A $1 million research bargain for Netflix, and maybe a model for others, New York Times (September 22, 2009). Применение метода разложения матрицы по собственным значениям для определения приза Netflix описано в работе B. Cipra, Blockbuster algorithm, SIAM News, Vol. 42, № 4 (2009).

140

Для простоты я представлю только базовую версию алгоритма PageRank. Для обработки сетей с некоторыми другими структурными свойствами его необходимо изменить. Предположим, в сети есть страницы, которые ссылаются на другие, но те, в свою очередь, на них не ссылаются. В процессе обновления эти страницы потеряют свой PageRank. Они отдают его другим, и он больше не восполняется. Таким образом, в конце концов они получат значения PageRank, равные нулю, и с этой точки зрения становятся неразличимыми.

С другой стороны, существуют сети, где некоторые страницы или группы страниц открыты для накапливания PageRank, но при этом не делают ссылок на другие страницы. Подобные страницы действуют как накопители PageRank.

Чтобы избежать подобных результатов, Брин и Пейдж изменили свой алгоритм следующим образом. После каждого этапа в процессе обновления данных все текущие значения PageRank уменьшаются на постоянный коэффициент, так что их сумма будет меньше 1. Затем остатки PageRank равномерно распределяются между всеми узлами в сети, как будто «сыплются с неба». Таким образом, алгоритм завершается действием уравнивания, распределяющим значения PageRank между самыми «бедными» узлами.

Более тщательно математика PageRank и интерактивные исследования рассматриваются в работе E. Aghapour, T. P. Chartier, A. N. Langville, and K. E. Pedings, Google PageRank: The mathematics of Google (http://www.whydomath.org/node/google/index.html). Полную информацию, изложенную в доступной форме, вы найдете в книге A. N. Langville and С. D. Meyer, Google’s PageRank and Beyond (Princeton University Press, 2006).

141

Гарри Нилссон написал песню One, получившую известность под названием Three Dog Night. Она стала хитом, заняв пятое место в горячей сотне хитов Billboard Hot 100, а Эйми Манн создала ее великолепную версию для фильма «Магнолия».

142

См. P. Giordano, The Solitude of Prime Numbers (Pamela Dorman Books/Viking Penguin, 2010).

143

Сложно сказать, с чего начать, чтобы поближе познакомиться с теорией чисел, и особенно с загадками простых чисел. Вы можете выбрать одну из следующих трех замечательных книг. Все они выпущены примерно в одно и то же время и все обращаются к гипотезе Римана, которая рассматривается как самая большая нерешенная задача в математике. Чтобы глубже познакомиться с математическими подробностями и историей гипотезы Римана, я рекомендую книгу J. Derbyshire, Prime Obsession (Joseph Henry Press, 2003). В книгах D. Rockmore, Stalking the Riemann Hypothesis (Pantheon, 2005) и M. du Sautoy, The Music of the Primes (Harper Collins, 2003) больше внимания уделяется последующему развитию этой темы, однако они тоже написаны в очень доступной форме.

Прим. ред.: По теории чисел существует такая обширная литература, что трудно остановиться на чем-то одном. Вот несколько «классических» введений в эту теорию: Боревич З. И., Шафаревич И. Р… Теория чисел. М.: Наука, 1972; Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гостехиздат, 1952; Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. М.: Наука, 1979. Литература по простым числам: Гальперин Г. «Просто о простых числах» // Квант. 1987. № 4; Генри С. Уоррен. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов. М.: «Вильямс», 2007; Матиясевич Ю. Формулы для простых чисел // Квант. 1975. № 5; Карпушина Н. Палиндромы и «перевертыши» среди простых чисел // Наука и жизнь. 2010. № 5. О гипотезе Римана и ее связи с простыми числами см. интересную статью Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. 2005. Рекомендуем также интересный и познавательный сайт «Числонавтика», посвященный теории чисел (и не только) по адресу http://www.numbernautics.ru/.

Дж. Дербишир. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. М.: Астрель, 2010.

144

Использование теории чисел в криптографии описано в работе M. Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers (Mathematical Association of America, 1997), главы 13 и 14. В первой из этих глав приводится знаменитая статья Гарднера, опубликованная в августе 1977 года в журнале Scientific American, где он рассказывает о создании криптографической системы RSA, взломать которую практически невозможно. В главе 2 описывается «ужас», который вызвало это открытие в Национальном агентстве безопасности. О последних исследованиях в этой области говорится в главе 10 книги du Sautoy, The Music of the Primes.

Прим. ред.: Литература по криптографии: Нестеренко Ю. В. Алгоритмические проблемы теории чисел // Введение в криптографию / Под редакцией В. В. Ященко. СПб: Питер, 2014. Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. М.: МЦНМО, 2003; Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. М.: МЦНМО, 2002; Крэндалл Р., Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты. М.: УРСС, Либроком, 2011.

145

Помимо указанных выше книг Дербишира, Рокмора и Дю Сотоя, в интернете можно найти множество источников о теореме простых чисел, например страницу Chris K. Caldwell How many primes are there? (http://primes.utm.edu/howmany.shtml), страницу MathWorld Prime number theorem (http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html) и страницу «Википедии» Prime number theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem).

146

История о том, как Гаусс в возрасте пятнадцати лет доказал теорему о простых числах, рассказана в книге Derbyshire, Prime Obsession, а также в работе L. J. Goldstein, A history of the prime number theorem, American Mathematical Monthly, Vol. 80, № 6 (1973), рр. 599–615. Гауссу удалось не столько доказать теорему, сколько угадать ее благодаря наблюдениям за таблицами простых чисел, которые он вычислил вручную для собственного развлечения. Первое доказательство теоремы было опубликовано Жаком Адамаром и Шарлем де ля Валле Пуссеном в 1896 году, примерно век спустя, причем каждый из них работал над ней независимо.

147

Как могут существовать простые числа-близнецы при большом N, если рассматривать их в свете теории простых чисел? Согласно теореме, lnN — это всего лишь средний промежуток. Однако он может колебаться, а поскольку существует бесконечное множество простых чисел, некоторым из них удается преодолеть ограничение и создать счастливую пару. Другими словами, даже если большинство простых чисел не обнаружат другие простые числа среди своих соседей намного ближе, чем на расстоянии lnN, все же некоторым это удастся.

Для тех, кто желает узнать, как математика управляет «очень маленькими промежутками между простыми числами», эта тема красиво и четко изложена в статье Эндрю Гранвиля, посвященной аналитической теории чисел, см. T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), рр. 332–348.

В интернете также есть прекрасная статья Терри Тао, которая позволяет проникнуть в мир простых чисел-близнецов. В частности, в ней рассказывается, как они распределяются, а также дается ответ на вопрос, почему математики считают, что их существует бесконечное множество. Затем приводится подробное доказательство его знаменитой теоремы (совместно с Беном Грином) о том, что простые числа могут образовывать арифметические прогрессии произвольной длины. См. T. Tao, Structure and randomness in the prime numbers, http://terrytao.wordpress.com/2008/01/07/ams-lecture-structure-and-randomness-in-the-prime-numbers/.

Подробнее о простых числах-близнецах см. http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime, http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html.

148

Здесь я привожу свои соображения и не пытаюсь дать окончательный ответ на вопрос о расстоянии между двумя последовательными парами простых чисел-близнецов. Возможно, где-нибудь очень далеко на числовой прямой существуют две пары простых чисел-близнецов, которые находятся очень близко друг к другу. Введение в эти вопросы см. I. Peterson, Prime twins (June 4, 2001), http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_4_01.html.

В любом случае метафора о загадочных парах простых чисел-близнецов не осталась незамеченной в Голливуде. Вы можете посмотреть фильм под названием The Mirror Has Two Faces («У зеркала два лица»), в котором снимаются Барбра Стрейзанд и Джефф Бриджес. Он красивый, но не приспособленный к жизни в обществе профессор математики. Она профессор на кафедре английской литературы, смелая, энергичная, но привязанная к дому женщина (или, по крайней мере, таковой кажется), живущая вместе с матерью и неуравновешенной сестрой. В конце концов этим двум профессорам удается встретиться. Но когда их разговор за ужином заходит о танцах (что ему совсем не нравится), мужчина внезапно меняет тему и рассказывает о простых числах-близнецах. Она мгновенно понимает его мысль и спрашивает: «Что случится, если досчитать до миллиона? Там еще останутся такие пары?» Он почти падает со стула, восклицая: «Не могу поверить, что вы думали об этом! Именно это предстоит доказать в гипотезе о простых числах». Далее по фильму их отношения развиваются, и на день рождения она дарит ему пару запонок, на которых изображены простые числа.

149

Группа матраса известна в математике как четверная группа Клейна. Это одно из самых простых и гигантских скоплений возможностей. На протяжении почти 200 лет математики занимаются анализом групп и классификацией их структур. Захватывающее исследование теории групп и последние попытки классификации всех конечных простых групп см. M. du Sautoy, Symmetry (Harper, 2008).

Прим. ред.: В качестве введения в теорию групп рекомендуем: Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983; Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972; Богопольский О.В. Введение в теорию групп. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002; Артамонов В. А., Словохотов Ю. Л. Группы и их приложения в физике, химии, кристаллографии. М.: Изд. центр «Академия», 2005.

150

Эта глава навеяна двумя недавно вышедшими книгами. N. Carter, Visual Group Theory (Mathematical Association of America, 2009) и B. Hayes, Group Theory in the Bedroom (Hill and Wang, 2008). Картер интересно и живописно рассказывает об основах теории групп. Он повествует о том, как она связана с кубиком Рубика, танцами, кристаллами, химией, искусством и архитектурой.

Читателям, которых заинтересует определение «группы», следует обратиться к авторитетным онлайн-справочникам или обычным учебникам. Для начала можно посоветовать страницу MathWorld http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html или страницу «Википедии» http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics). В этой главе я больше внимания уделил группам симметрии, чем другим группам.

151

Майкл Филд и Мартин Голубицкий изучали взаимосвязи между теорией групп и нелинейной динамикой. В ходе исследования они создали на компьютере потрясающие графические изображения симметрии хаоса. О математике в искусстве и науке см. M. Field and M. Golubitsky, Symmetry in Chaos, 2^>nd edition (Society for Industrial and Applied Mathematics, 2009).

152

Несколько слов об обозначениях в этой главе, которые могут сбить с толку: в уравнениях типа HR = V символ H написан слева, поскольку демонстрирует, что это преобразование произведено в первую очередь. Картер применяет подобное обозначение в своей книге для функциональной композиции, однако читатель, возможно, знает, что многие математики используют обратную запись, в которой первое преобразование H находится справа.

153

Историю о Фейнмане и психиатре см. R. P. Feynman, Surely You’re Joking, Mr. Feynman! (W. W. Norton and Company, 1985), р. 158; J. Gleick, Genius (Random House, 1993), р. 223.

154

Если вас интересует искусство, лимерики, патенты, уловки ораторов и серьезная математика, как-то связанная с лентами Мебиуса, тогда все это вы найдете в увлекательной книге Cliff Pickover, The Mobius Strip (Basic Books, 2006). Ранее об этих чудесах писалось в статье M. Gardner, The world of the Mobius strip: Endless, edgeless, and one-sided, Scientific American, Vol. 219, № 6 (December 1968).

155

Пошаговые инструкции с фотографиями для некоторых занятий, описанных в этой главе, можно найти в статье How to explore a Mobius strip на http://www.wiki-how.com/Explore-a-Mobius-Strip. Джулиан Флерон предлагает множество других идей: бумажные гирлянды, сердечки и звездочки, для создания которых используются свойства ленты Мебиуса. См. Recycling Mobius, http://artofmathematics.wsc.ma.edu/sculpture/workinprogress/Mobius1206.pdf.

Кроме того, интересные бумажные модели описаны в классической книге S. Barr, Experiments in Topology (Crowell, 1964).

156

Основы топологии изложены в авторитетной работе R. Courant and H. Robbins (revised by I. Stewart), What Is Mathematics? 2^>nd edition (Oxford University Press, 1996). Увлекательный обзор этой области математики дан в книге M. Gardner, The Colossal Book of Mathematics (W. W. Norton and Company, 2001). В ней рассматриваются бутылки Клейна, узлы, сцепленные бублики и прочие занимательные примеры из топологии. Прекрасное современное изложение представлено в книге D. S. Richeson, Euler’s Gem (Princeton University Press, 2008). Более сложная подача материала, которая все же будет понятна тем, кто имеет прочные школьные знания по математике, представлена в главах по алгебраической топологии и дифференциальной топологии книги T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), pp. 383–408.

Прим. ред.: Популярные книги по топологии для начинающих: Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982; Васильев В. А. Введение в топологию. М.: ФАЗИС, 1997; Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир, 1983; Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир, 1972; Прасолов В. В. Наглядная топология. М.: МЦНМО, 1995; Стюарт Я. Топология. // Квант. 1992. № 7.

157

Принимая во внимание, что окружность и квадрат представляют собой топологически эквивалентные кривые, возникает вопрос: какие кривые будут топологически отличными друг от друга? Самый простой пример — отрезок прямой. Чтобы доказать это, предположим, что вы движетесь в одном направлении по окружности, квадрату или любой другой замкнутой кривой. Вы всегда будете возвращаться в исходную точку, что неверно при движении по отрезку прямой. Поскольку это свойство неизменно для всех преобразований, при которых сохраняется топология объекта (то есть при непрерывных деформациях, когда непрерывны и обратные деформации), и различается для замкнутых кривых и отрезков прямой, делаем вывод о том, что замкнутые кривые и отрезки прямой являются топологически различными объектами.

158

Видеоролики Ви, о которых шла речь в этой главе, — «Музыкальная шкатулка Мебиуса» и «История ленты Мебиуса: Винди и мистер Уг» — можно найти на YouTube. Со множеством других увлекательных путешествий в математику можно ознакомиться на сайте Ви http://vihart.com.

159

Работы Морица Эшера, Макса Билла и Кейдзо Ушио, в основе которых лежит лента Мебиуса, можно найти в интернете, введя в поисковую строку имя художника и слово «Мебиус». Использование ленты Мебиуса в литературе, искусстве, архитектуре и скульптуре описано в блоге Иварса Петерсона Mathematical Tourist, где приводятся фотографии и пояснения, http://mathtourist.blogspot.com/search/label/Moebius%20Strips.

Прим. ред.: Прекрасную статью «Математическое искусство М. К. Эшера» см. на http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html.

160

Эта библиотека в настоящий момент находится в стадии строительства. Информацию о разработке ее дизайна и макет проекта можно найти на сайте архитектурного бюро BIG (Bjarke Ingels Group), http://www.big.dk/. На сайте представлен также 41 слайд с изображением внутренней и внешней архитектуры библиотеки, обзором музея, воздействия температур и т. п. Все это необычно, поскольку проект здания построен на принципе ленты Мебиуса. Сведения об архитекторе Бьярке Ингельсе и его работе содержатся в статье G. Williams, Open source architect: Meet the maestro of ‘hedonistic sustainability, http://www.wired.co.uk/magazine/archive/2011/07/features/open-source-architect.

161

Некоторые из них описаны в книге Pickover, The Mobius Strip. Вы можете найти сотни других, произведя поиск по ключевым словам «лента Мебиуса».

162

Способ разрезания бублика таким образом показан на сайте Джорджа Гарта http://www.georgehart.com/bagel/bagel.html. Можно также посмотреть компьютерную анимацию, выполненную Биллом Джайлсом, на http://www.youtube.com/watch?v=hYXnZ8-ux80. Если хотите проследить за процессом в реальном времени, найдите видео компании UltraNurd под названием Mobius Bagel («Бублик Мебиуса») на http://www.youtube.com/watch?v=Zu5z1BCC70s. Однако, строго говоря, это не совсем бублик Мебиуса, о чем говорят многие, кто писал о работе Джорджа или пытался повторить его опыт. Поверхность, по которой растекается сливочный сыр, не является эквивалентом ленты Мебиуса, поскольку в ней два полуоборота вместо одного, в результате она имеет две стороны, а не одну. Кроме того, настоящий бублик Мебиуса, разрезанный пополам, состоит из одной части, а не из двух. Видеоролик о том, как разрезать бублик, действительно используя метод Мебиуса, см. http://www.youtube.com/watch?v=l6Vuh16r8°8.

163

Может показаться, что я говорю о геометрии на плоскости с некоторым пренебрежением, но это ошибочное впечатление. Я так не думаю, поскольку метод локальной аппроксимации криволинейной формы плоскости часто оказывался полезным упрощением во многих разделах математики и физики — от простых вычислений до теории относительности. Планиметрия — первый пример этой великой идеи.

И я не утверждаю, что буквально все древние думали, будто мир плоский. Об измерении Эратосфеном окружности и радиуса Земли см. N. Nicastro, Circumference (St. Martin’s Press, 2008). Более современный подход недавно продемонстрировал профессор Принстонского университета Роберт Вандербей во время выступления перед учениками геометрического класса средней школы, в котором учится его дочь. Возможно, вы захотите повторить его опыт. Чтобы показать, что Земля не плоская, и оценить ее диаметр, он использовал фотографию заката. Его слайды размещены по адресу http://orfe.princeton.edu/~rvdb/tex/sunset/34-39.OPN.1108twoup.pdf.

164

Превосходное введение в современную геометрию написано одним из величайших математиков ХХ века Давидом Гильбертом. Эта классическая работа, первоначально опубликованная в 1952 году, была переиздана в 1999-м, см. D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination (American Mathematical Society, 1999). Список нескольких хороших учебников и онлайн-курсов по дифференциальной геометрии приведен в «Википедии» по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry.

Прим. ред.: Книги по дифференциальной геометрии: Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию / 2-е изд., исправл. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет». 2000; Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004; Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990; Прасолов В. В. Наглядная топология /2-е изд., доп. М.: МЦНМО, 2006.

165

Равноугольная цилиндрическая проекция, предложенная в последней трети XVI века картографом Г. Меркатором. Используется в навигации, поскольку для нее углы между меридианом и курсом (пересекающей его линией) одинаковы на сфере и изображающей ее поверхности плоской карты. Прим. перев.

166

Интерактивное видео в режиме онлайн, которое позволит найти кратчайший маршрут между двумя любыми точками на поверхности Земли, см. http://demonstrations.wolfram.com/GreatCirclesOnMercatorsChart/. (Для просмотра потребуется загрузить Mathematica Player, который в дальнейшем позволит открыть сотни других видео из всех разделов математики.)

167

Традиция пришла из средних веков, когда парикмахеры, чтобы привлечь внимание горожан к своему бизнесу, вешали на стене парикмахерской специальные знаки (что-то вроде вывески) в виде цилиндров, раскрашенных спиралями белого и красного цветов. В настоящее время в США эти знаки красят в белый, красный и синий цвета, а сам цилиндр помещается в стеклянную капсулу.

168

Фрагменты из ряда увлекательных образовательных видео по разделам математики Полтье можно найти в интернете по адресу: http://page.mi.fu-berlin.de/polthier/video/Geodesics/Scenes.html. Видео Полтье и его коллег, получившие награды на фестивале VideoMath Festival, размещены на http://page.mi.fu-berlin.de/polthier/Events/VideoMath/index.html. Для получения дополнительных сведений см. G. Glaeser and K. Polthier, A Mathematical Picture Book (Springer, 2012). Изображения, использованные в этой главе, взяты из DVD Touching Soap Films (Springer, 1995), by Andreas Arnez, Konrad Polthier, Martin Steffens, and Christian Teitzel.

169

Классический алгоритм для задач нахождения кратчайшего пути разработан Эдсгером Дейкстрой. За информацией обращайтесь по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra’s_algorithm. Стивен Скиена разместил в своем блоге анимированную инструкцию алгоритма Дейкстры, см. http://www.cs.sunysb.edu/~skiena/combinatorica/animations/dijkstra.html.

170

Восхитительные примеры историй в шести словах даны на страницах http://www.smithmag.net/sixwords/; http://en.wikipedia.org/wiki/Six-Word_Memoirs.

171

«Анализируй это» (англ. Analyze This!) — фильм режиссера Гарольда Рамиса (1999). Влиятельный нью-йоркский мафиози Пол Витти — на грани нервного срыва. Все гангстеры в шоке: как помочь своему чокнутому боссу? Бен Соболь — обычный психоаналитик. У него есть всего несколько дней на то, чтобы помочь «крестному отцу» справиться с депрессией. Прим. перев.

172

Анализ возник в связи с необходимостью укрепить логические основы исчисления. Уильям Данхэм прослеживает его историю на основе работ одиннадцати гениальных математиков, от Ньютона до Лебега, в книге W. Dunham, The Calculus Gallery (Princeton University Press, 2005). Эта книга содержит точные математические представления, которые будут понятны читателям уровня выпускников колледжа. См. также учебник, написанный в аналогичной манере, D. Bressoud, A Radical Approach to Real Analysis, 2^>nd edition (Mathematical Association of America, 2006). Для более полного исторического обзора см. C. B. Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development (Dover, 1959).

173

Об истории ряда Гранди 1–1 + 1–1 + 1–1 +… его дальнейшем математическом статусе и его роли в математическом образовании говорится в статье «Википедии», опирающейся на тщательно отобранные источники, со ссылками по темам. Все это можно найти на странице Grandi’s series («Ряды Гранди») по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi’s_series.

174

Для получения четкого представления о теореме Римана см. Dunham, The Calculus Gallery, рр. 112–115.

175

Если знакочередующийся ряд сходится условно, это означает, что он сходится, но не абсолютно (сумма абсолютных значений его членов не сходится). Для рядов, подобных гармоническому, можно изменять порядок членов, чтобы получить любое действительное число. Таковы шокирующие следствия теоремы Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда. Поэтому сумма сходящегося ряда, если он не сходится абсолютно, может не соответствовать нашим интуитивным ожиданиям.

В случае абсолютно сходящегося ряда все перестановки ряда сходятся к одному значению. Что удивительно удобно. Это означает, что абсолютно сходящийся ряд ведет себя как конечная сумма. В частности, он подчиняется коммутативному закону сложения. Вы можете переставить члены ряда, как вам захочется, и получите тот же ответ. Более подробно о сходимости рядов, см. http://mathworld.wolfram.com/AbsoluteConvergence.html и http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence.

Прим. ред.: Простая книга о сходимости рядов: Воробьев Н. Н. Теория рядов. М.: Наука, 1986.

176

Выдающаяся книга Tom Korner’s Fourier Analysis (Cambridge University Press, 1989) представляется как «витрина магазина» идей, методов, приложений и истории анализа Фурье. Уровень математической строгости высок, хотя книга остроумная, элегантная и приятно занимательная. Для получения представления о работе Фурье и ее связи с музыкой см. M. Kline, Mathematics in Western Culture (Oxford University Press, 1974), chapter 19.

Прим. ред.: Литература по анализу Фурье и рядам Фурье: Толстов Г. П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980; Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2 т. М.: Мир, 1985.

177

Феномен Гиббса и его нелегкая история рассматриваются в книге E. Hewitt and R. E. Hewitt, The Gibbs-Wilbraham phenomenon: An episode in Fourier analysis, Archive for the History of Exact Sciences, Vol. 21 (1979), pp. 129–160.

178

Как феномен Гиббса может повлиять на MPEG и JPEG технологии сжатия цифрового видео, см. http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol4/sab/report.html.

В MРТ-сканировании эффект Гиббса называется усеченным сигналом Гиббса: http://www.mr-tip.com/serv1.php?type=art&sub=Gibbs%20Artifact. Методы для работы с этим артефактом см. T. B. Smith and K. S. Nayak, MRI artifacts and correction strategies, Imaging Medicine, Vol. 2, № 4 (2010), рр. 445–457, доступно на http://mrel.usc.edu/pdf/Smith_IM_2010.pdf.

179

Аналитики XIX века нашли математическое обоснование феномена Гиббса. Для функции (или в настоящее время изображения), отображающей края или другие устранимые точки с простым разрывом, было доказано, что частичные суммы синусоидальных волн сходятся в этих точках к пределу поточечно, но неравномерно. Поточечная сходимость означает, что в любой определенной точке х при добавлении большего числа членов ряда значения частичных сумм приближаются сколь угодно близко к предельному значению. В этом смысле можно надеяться, что ряд действительно сходится. Загвоздка в том, что одни точки гораздо привередливее, чем другие. Эффект Гиббса происходит вблизи худших из этих точек на границах интервалов непрерывности исходной функции. Например, рассмотрим пилообразную волну, о которой говорилось в этой главе. По мере приближения x к краю пилообразной волны для достижения заданного уровня приближения требуется все больше и больше членов ряда Фурье. Это то, что мы имеем в виду, утверждая, что сходимость не является равномерной. Она происходит для разных x с различной скоростью.

В этом случае неравномерная сходимость обусловлена «патологией» знакочередующегося гармонического ряда, чьи члены появляются в виде коэффициентов Фурье для пилообразной волны. Как уже обсуждалось выше, знакочередующиеся гармонические ряды сходятся, но только благодаря грандиозному сокращению членов с противоположными знаками. Если бы ряд состоял исключительно из положительных (абсолютных) значений его членов, то он был бы расходящимся, а сумма стремилась бы к бесконечности. Вот почему говорят, что знакочередующийся гармонический ряд сходится условно, но не абсолютно. Затем такая форма сходимости заражает соответствующий ряд Фурье и приводит к тому, что он сходится неравномерно; тут и возникает феномен Гиббса с его насмешливо поднятыми у края пальцами.

В противоположность этому, когда коэффициенты рядов Фурье абсолютно сходятся, связанные с ними ряды Фурье равномерно сходятся к исходной функции. И феномен Гиббса не возникает. Для получения дополнительной информации см. http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html и http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon.

Мораль наших рассуждений такова: нужно быть осторожными с условно сходящимися рядами. У них сходимость все же недостаточно хорошая. Чтобы бесконечный ряд во всех отношениях вел себя как конечная сумма, он должен быть более жестко ограничен, чего не может обеспечить условная сходимость. Требование абсолютной сходимости приводит к тому, что мы интуитивно ожидаем как для исходного ряда, так и для связанного с ним ряда Фурье.

180

Более подробную информацию о Канторе, в том числе о математических, философских и богословских спорах, связанных с его работой, см. J. W. Dauben, Georg Cantor (Princeton University Press, 1990).

Прим. ред.: О Георге Канторе и его научном наследии см. Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным: философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М.: Мартис, 1999; Пуркет В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор / Пер. с нем. Н. М. Флайшера. Харьков: Основа, 1991.

181

Если вы еще не читали, рекомендую прочесть удивительный бестселлер «Логикомикс», потрясающе творческий и «графический» роман о теории множеств, логике, бесконечности, безумии и стремлении к математической истине: A. Doxiadis and С. Н. Papadimitriou, Logicomix (Bloomsbury, 2009). Главный герой — Бертран Рассел, но появление Кантора, Гильберта, Пуанкаре и многих других незабываемо.

182

Классическая биография Давида Гильберта — трогательный и неакадемичный рассказ о его жизни, работе и эпохе, см. C. Reid, Hilbert (Springer, 1996). Вклад Гильберта в математику слишком велик, чтобы перечислять здесь все достижения, но, вероятно, величайшее из них — это коллекция из двадцати трех тогда еще не решенных задач, которые, по мнению ученого, могли бы сформировать ход развития математики в ХХ веке. Продолжение истории о значимости задач, предложенных Гильбертом, и людях, которые решили кое-какие из них, см. B. H. Yandell, The Honors Class (A K Peters, 2002). Некоторые из этих проблем до сих пор остаются неразрешенными.

Прим. ред.: Русский перевод первого издания: Констанс Рид. Гильберт. М.: Наука, 1977.

Прим. ред.: О творчестве Гильберта см.: Вейль Г. Давид Гильберт и его математическое творчество. // Математическое мышление. М.: Наука, 1989. По проблемам Гильберта см.: Проблемы Гильберта. Сборник под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.

183

Притча Гильберта о бесконечном отеле приведена в незабываемом шедевре George Gamow’s One Two Three ... Infinity (Dover, 1988), р. 17. Гамов также хорошо объясняет понятия исчислимых и неисчислимых множеств и связанные с ними идеи о бесконечности.

Авторы математической беллетристики часто раскрывали комедийные и драматические стороны отеля Гильберта. Например, см. S. Lem, The extraordinary hotel or the thousand and first journey of Ion the Quiet, (Wiley, 1999) и I. Stewart, Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities (Basic Books, 2009). Детская книга на эту же тему: I. Ekeland, The Cat in Numberland (Cricket Books, 2006).

184

При доказательстве неисчислимости вещественных чисел я прибегнул к крошечной хитрости, когда потребовал заменить диагональные цифры на цифры от 1 до 8. В этом не было необходимости. Но я хотел избежать использования цифр от 0 до 9, чтобы обойти некую неопределенность, вызванную тем, что у некоторых действительных чисел есть два десятичных представления. Например, 0,200000… равно 0,199999… Таким образом, если бы мы не исключили использование 0 и 9 при замене цифры, этот придуманный диагональный аргумент мог бы невольно подготовить ряд, который уже есть в списке (и это разрушило бы наше доказательство). Но при выполнении моего запрета на цифры от 0 до 9 такого казуса не произойдет.

185

Чтобы ознакомиться с более строгой математически, но все же довольно понятной дискуссией о бесконечности (и многих других идеях, обсуждаемых в этой книге), см. J. C. Stillwell, Yearning for the Impossible (A K Peters, 2006). Читатели, которые захотят получить более глубокие знания о бесконечности, вероятно, с удовольствием посетят блог Терри Тао о самоопределяющихся объектах, см. http://terrytao.wordpress.com/2009/11/05/the-no-self-defeating-object-argument/.

В очень доступной форме он представляет и освещает массу фундаментальных рассуждений о бесконечности, которые возникают в теории множеств, философии, физике, информатике, теории игр и логике. Для обзора основополагающих вопросов, вызванных этими идеями, см. также J. C. Stillwell, Roads to Infinity (A K Peters, 2010).

Еще от автора Стивен Строгац

Стивен Строгац

Бесконечная сила

Популяризатор науки мирового уровня Стивен Строгац предлагает обзор основных понятий матанализа и подробно рассказывает о том, как они используются в современной жизни. Автор отказывается от формул, заменяя их простыми графиками и иллюстрациями. Эта книга – не сухое, скучное чтение, которое пугает сложными теоретическими рассуждениями и формулами. В ней много примеров из реальной жизни, которые показывают, почему нам всем нужна математика. Отличная альтернатива стандартным учебникам. Книга будет полезна всем, кто интересуется историей науки и математики, а также тем, кто хочет понять, для чего им нужна (и нужна ли) математика. На русском языке публикуется впервые.

Стивен Строгац

Ритм Вселенной. Как из хаоса возникает порядок

В книге Стива Строгаца представлен увлекательный обзор того, как происходит спонтанное упорядочение ритмов в природе. Автор затрагивает широкий спектр научных и математических вопросов, но основное внимание уделяет феномену синхронизации, который наблюдается в свечении светлячков, ритмичном биении сердец, движении планет и астероидов. Используя для иллюстрации своих глубоких идей интересные метафоры и жизненные ситуации, Строгац создал настоящий шедевр, который погружает читателя в восхитительный мир научных открытий.Книга будет полезна всем, кто интересуется естественными науками и хочет лучше разобраться в устройстве окружающего мира.На русском языке публикуется впервые.