Удовольствие от Х. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире - [4]

Однажды профессор предлагает мальчику простую задачу — найти сумму всех чисел от 1 до 10. После того как Рут аккуратно складывает все числа между собой и возвращается с ответом (55), профессор просит его поискать более простой способ. Сможет ли он найти ответ без обычного сложения чисел? Рут пинает стул и кричит: «Это несправедливо!»

Мало-помалу домработница тоже втягивается в мир чисел и сама тайно пытается решить эту задачу. «Я не понимаю, почему так увлеклась детской задачкой, которая не имеет никакой практической пользы», — говорит она. «Сначала я хотела угодить профессору, но постепенно это занятие превратилось в сражение между мной и числами. Когда я просыпалась утром, уравнение уже ждало меня:

1 + 2 + 3 +. . + 9 + 10 = 55,

и весь день следовало по пятам, будто было выжжено на сетчатке моих глаз, и его никак не получалось проигнорировать». Существует несколько путей решения задачи профессора (интересно, сколько сможете найти вы). Профессор сам предлагает способ рассуждений, который мы уже применили выше. Он интерпретирует сумму от 1 до 10 в виде треугольника из камешков, с одним камешком в первой строке, двумя во второй и так далее, до десяти камешков в десятом ряду.

Эта картинка дает четкое представление о негативном пространстве. Оказывается, оно заполнено только наполовину, что показывает направление творческого прорыва. Если скопировать треугольник из камешков, перевернуть его и соединить с уже существующим, то получится нечто весьма простое: прямоугольник с десятью рядами по 11 камешков в каждом, причем общее число камней составит 110.

Так как исходный треугольник — половина этого прямоугольника, то вычисляемая сумма чисел от 1 до 10 должна быть половиной 110, то есть 55.

Представление числа в виде группы камешков может показаться необычным, но на самом деле так же старо, как и сама математика. Слово «вычислять» (англ. calculate) отражает это наследие и происходит от латинского calculus, означающего «галька», которую римляне использовали при выполнении вычислений. Чтобы получать удовольствие от манипуляций с числами, не обязательно быть Эйнштейном (что по-немецки означает «один камень»), но, возможно, умение жонглировать камешками облегчит вам это занятие.

3. Враг моего врага

В начальной школе вычитание учат сразу после сложения. И в этом, безусловно, есть смысл: в обоих случаях применяется счет чисел, только при вычитании он выполняется в обратную сторону. Психологически действия тоже похожи: ребенок учится брать и давать примерно в одно и то же время. Сложение и вычитание всегда идут рука об руку. Если человек готов посчитать, сколько будет 23 + 9, то не сомневайтесь, он скоро ответит и на вопрос, сколько будет 23 — 9.

Но если углубиться в эту тему, то в отличие от сложения вычитание создает довольно неприятную проблему, поскольку в результате могут появиться отрицательные числа. Если я захочу взять у вас 6 булочек, а у вас их только 2, то в реальности у меня ничего не получится. Зато в уме я навешу на вас 4 отрицательные булочки, что бы это ни значило.

Вычитание заставляет нас расширить свое представление о числах. Отрицательные числа более абстрактны, чем положительные. Четыре отрицательные булочки не потрогаешь и не съешь, зато их можно представить. Самое интересное, что в реальном мире отрицательные числа тоже встречаются: долги, перерасход по кредитной карте, минусовые температуры зимой и обозначения подвальных уровней на крытых парковках.

Многие из нас пока еще не заключили мир с отрицательными числами. Как заметил мой коллега Энди, люди придумали всевозможные забавные мелкие уловки, чтобы обойти страшный отрицательный знак «минус». В отчетах паевых инвестиционных фондов потери (отрицательные числа) печатаются красным или заключаются в круглые скобки, чтобы минусы ни в коем случае не появились. В исторических книгах сказано, что Юлий Цезарь родился в 100 году до н. э., а не в –100 году. Подземные уровни парковки часто обозначаются как B1 и B2. Температура — одно из немногих исключений, когда люди действительно говорят, что она составляет –5 градусов, хотя и в этом случае многие предпочитают фразу «5 градусов ниже нуля». Видимо, в отрицательном знаке есть нечто отталкивающее и… негативное.

Возможно, самое неприятное заключается в том, что при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Поэтому позвольте привести доводы в защиту знака минус.

Как нам определить ценность такого выражения, как –1 × 3, где мы умножаем отрицательное число на положительное? Ну хорошо, так как 1 × 3 означает сумму 1 + 1 + 1, естественно представить –1 × 3 как (–1) + (–1) + (–1), что равняется –3. Это должно стать очевидным в примере с деньгами: если вы должны мне 1 доллар в неделю, то по истечении трех недель вы мне будете должны 3 доллара.

Отсюда уже недалеко до понимания, почему минус, умноженный на минус, дает плюс. А теперь взгляните на следующий ряд равенств:

— 1 × 3 = –3

— 1 × 2 = –2

— 1 × 1 = –1

— 1 × 0 = 0

— 1 × –1 =?

Посмотрите на числа в правой части равенств и удостоверьтесь в том, что это обычная прогрессия: –3, –2, –1, 0… На каждом шаге мы добавляем 1 к предыдущему числу. Таким образом, разве не логично, что следующим числом будет 1?