Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - [3]
Биографические заметки Прокла собраны в комментарии к первой книге «Начал» Евклида. В этом действительно очень важном тексте содержатся ценные исторические, эпистемологические и методологические сведения о Евклиде и его предшественниках. Прокл пишет:
«Немного младше последних [Гермотима и Филиппа] Евклид, составивший «Начала», собравший многое из открытого Евдоксом, улучшивший многое из открытого Теэтетом, а помимо этого сделавший неопровержимыми доказательствами то, что до него доказывалось менее строго.
Он жил при Птолемее I, потому что и Архимед, живший при Птолемее I, упоминает о Евклиде. [...] Он моложе платоновского кружка и старше Эратосфена и Архимеда. [...] Он принадлежит к платоникам и близок их философии, почему и поставил целью всего своего изложения «Начал» описание так называемых пяти платоновских тел».
Прокл ничего не говорит о месте рождения Евклида, из-за чего мы можем предположить, что он о нем не знал, но рассказывает знаменитый случай о «царском пути» в изучении геометрии. Вероятно, лучшее резюме биографии Евклида сделал английский писатель Эдвард Фостер в своем путеводителе по Александрии:
«Мы ничего о нем не знаем; честно говоря, сегодня он для нас — скорее свод знаний, чем человек».
Известно, что кроме «Начал» Евклид написал и другие труды. В прологе ко второй части своего комментария Прокл приписывает ему следующие тексты:
«У него есть также много других математических сочинений, полных удивительной точности и научности. Таковы «Оптика», «Катоптрика», таковы также «Начала музыки» и книга «О делении фигур». А в «Началах» геометрии им в особенности следует восхищаться порядком и отбором приведенных теорем и задач. Ведь он берет не все, что можно сказать, а лишь самое основополагающее; кроме того, он применяет разнообразные виды силлогизмов, которые отчасти получают достоверность от причин, отчасти исходят из достоверных положений, но при этом все — неопровержимые, точные и свойственные науке. Помимо них он применяет все диалектические методы: метод разделения — при установлении видов, метод определения — при определении сущности, метод демонстрации — при переходе от начал к искомому, метод анализа — при восхождении от искомого к началам».
Люди умирают, но их труды остаются.
Последние слова математика Огюстена Луи Коши, сказанные архиепископу Парижа
Добавив к этому списку произведения, о которых упоминает Папп Александрийский (290-350) в своем «Математическом собрании», мы получим свод сочинений, приведенный в таблице на следующей странице.
В совокупности эти книги представляют собой довольно четкую программу изучения математики, а также касаются широкого ряда других вопросов геометрии (первые три — начального уровня, последние три — более сложные), астрономии, музыки, оптики и механики. Ниже приводится краткое содержание каждого сочинения, причем особое внимание мы уделим текстам по геометрии. Нам неизвестна их хронология, так что мы приводим труды в алфавитном порядке.
В «Данных» содержатся 94 предложения, в которых анализируется, какие свойства фигур можно вывести, если «известны некоторые из них». Евклид пишет, что данные могут быть нескольких типов: данные величины (касающиеся размеров), данные вида (касающиеся типа геометрических фигур) и данные положения (касающиеся их относительного расположения) или комбинация этих трех параметров. Сочинение можно назвать начальным учебником по элементарной планиметрии.
Следующий пример иллюстрирует, какие вопросы разбираются в «Данных». Здесь изданных величины мы получаем данные вида. В предложении 45 говорится:
«Если дан угол АВС [на рисунке он соответствует углу < АВС] некоего треугольника и соотношение между суммой сторон АВ и ВС данного угла и третьей стороной АС, то треугольник определен (задан)».
Сочинения, приписываемые Евклиду | ||||
МАТЕМАТИКА | «Начала» (геометрия): книги 1—XIII (написаны Евклидом) и два апокрифа (книга XIV написана Гипсиклом, книга XV — предположительно Исидором Милетским) | |||
ГЕОМЕТРИЯ | Начальная геометрия | «Данные» | ||
«О делении фигур» | ||||
«Псевдария» | ||||
Высшая геометрия | «Поверхностные места» | |||
«Поризмы» | ||||
«Конические сечения» | ||||
АСТРОНОМИЯ | «Явления» | |||
МУЗЫКА | Введение в музыку | «Гармоническое введение» (Клеонид) | ||
«Деление канона» | ||||
ФИЗИКА | МЕХАНИКА | «О легкости и тяжести» | ||
«О рычаге» | ||||
ОПТИКА | «Оптика» | |||
«Катоптрика» (Теон Александрийский) |
В предложениях 84 и 85 этого трактата решаются уравнения второго порядка ах ± х>² = b>² так же, как это делали месопотамские математики (мы увидим это в главе 4), когда решали следующую систему уравнений:
у±х = а,
ху = b>².
В сочинении «О делении фигур» рассматривается деление заданной фигуры одной или несколькими прямыми, «соблюдая некоторые условия», чтобы площади получившихся частей соотносились друг с другом определенным образом. Например, требуется произвести следующее деление:
Задача 20. Отделить треть треугольника ААВС с помощью прямой, которая проходит через точку D внутри треугольника.
Такие геометрические задачи скорее вписываются в математическую традицию Вавилона, чем в изложенную в «Началах». Фрагменты этого сочинения, известные нам, взяты из латинского перевода 1563 года и арабского перевода, обнаруженного в Париже в 1851 году. Единственные четыре предложения с доказательствами напоминают предложения из «Начал». Всего в сочинении содержится 36 предложений.
Эта книга предназначена для людей, обладающих общим знанием биологии и интересом к ископаемым остаткам и эволюции. Примечания и ссылки в конце книги могут помочь разъяснить и уточнить разнообразные вопросы, к которым я здесь обращаюсь. Я прошу, чтобы мне простили несколько случайный характер упоминаемых ссылок, поскольку некоторые из затронутых здесь тем очень обширны, и им сопутствует долгая история исследований и плодотворных размышлений.
Книга «Инсектопедия» американского антрополога Хью Раффлза (род. 1958) – потрясающее исследование отношений, связывающих человека с прекрасными древними и непостижимо разными окружающими его насекомыми.Период существования человека соотносим с пребыванием насекомых рядом с ним. Крошечные создания окружают нас в повседневной жизни: едят нашу еду, живут в наших домах и спят с нами в постели. И как много мы о них знаем? Практически ничего.Книга о насекомых, составленная из расположенных в алфавитном порядке статей-эссе по типу энциклопедии (отсюда название «Инсектопедия»), предлагает читателю завораживающее исследование истории, науки, антропологии, экономики, философии и популярной культуры.
Технологии захватывают мир, и грани между естественным и рукотворным становятся все тоньше. Возможно, через пару десятилетий мы сможем искать информацию в интернете, лишь подумав об этом, – и жить многие сотни лет, искусственно обновляя своё тело. А если так случится – то что будет с человечеством? Что, если технологии избавят нас от необходимости работать, от старения и болезней? Всемирно признанный футуролог Герд Леонгард размышляет, как изменится мир вокруг нас и мы сами. В основу этой книги легло множество фактов и исследований, с помощью которых автор предсказывает будущее человечества.
В природе все взаимосвязано. Деятельность человека меняет ход и направление естественных процессов. Она может быть созидательной, способствующей обогащению природы, а может и вести к разрушению биосферы, к загрязнению окружающей среды. Главная тема книги — мысль о нашей ответственности перед потомками за природу, о возможностях и обязанностях каждого участвовать в сохранении и разумном использовании богатств Земли.
Томас Альва Эдисон — один из тех людей, кто внес наибольший вклад в тот облик мира, каким мы видим его сегодня. Этот американский изобретатель, самый плодовитый в XX веке, запатентовал более тысячи изобретений, которые еще при жизни сделали его легендарным. Он участвовал в создании фонографа, телеграфа, телефона и первых аппаратов, запечатлевающих движение, — предшественников кинематографа. Однако нет никаких сомнений в том, что его главное достижение — это электрическое освещение, пришедшее во все уголки планеты с созданием лампы накаливания, а также разработка первой электростанции.
Книга авторитетного британского ученого Джона Дрейера посвящена истории астрономии с древнейших времен до XVII века. Автор прослеживает эволюцию представлений об устройстве Вселенной, начиная с воззрений древних египтян, вавилонян и греков, освещает космологические теории Фалеса, Анаксимандра, Парменида и других греческих натурфилософов, знакомит с учением пифагорейцев и идеями Платона. Дрейер подробно описывает теорию концентрических планетных сфер Евдокса и Калиппа и геоцентрическую систему мироздания Птолемея.