Трактат о принципах человеческого знания - [35]
128. Из сказанного ясно, почему для сообщения теоремам всеобщего применения мы должны говорить о начертанных на бумаге линиях так, как будто они содержат части, которых в действительности не имеют. Поступая таким образом, мы при точном исследовании найдем, быть может, что не в состоянии представить себе сам дюйм состоящим из тысячи частей или делимым на тысячу частей, а относим это представление к некоторой другой линии, которая гораздо больше дюйма и обозначается им, и что, говоря, будто линия делима до бесконечности, мы подразумеваем (если только действительно что-либо подразумеваем) бесконечно большую линию. В сказанном заключается, по-видимому, главная причина того, почему в геометрии признается необходимым предположение бесконечной делимости конечного протяжения.
129. Многочисленные нелепости и противоречия, вытекающие из этого ложного принципа, могли бы каждое служить, как представляется, доводами против него. Но я не знаю, на основании какой логики признается, что доказательства a posteriori не допустимы против положений, касающихся бесконечности, как будто даже бесконечный дух не в состоянии разрешить противоречия или будто что-либо нелепое и противоречивое может быть в необходимой связи с истиной или вытекать из нее. Но если кто бы то ни было рассмотрит шаткость этого притязания, то он придет к мысли, что оно было изобретено в угоду вялости ума, которому более приятно успокоиться на ленивом скептицизме, чем взять на себя труд подвергнуть строгому исследованию те принципы, которые он постоянно признавал за истинные.
130. Умозрения относительно бесконечных величин достигли в новейшее время таких размеров и выродились в столь странные понятия, что послужили поводом к немалым сомнениям и спорам среди современных геометров. Некоторые из них, имеющие громкое имя, не довольствуются мнением, будто конечные линии могут быть делимы на бесконечное число частей, но утверждают далее, что каждая из этих бесконечно малых частей в свою очередь делима на бесконечное число других частей или бесконечно малых величин второго порядка, и т.д. ad infinitum. Они утверждают, говорю я, что существуют бесконечно малые части бесконечно малых частей и т.д. без конца; так что, по их мнению, один дюйм содержит не только бесконечное число частей, но бесконечность бесконечности частей ad iufinitum. Другие утверждают, что все порядки бесконечно малых величин ниже первого порядка суть ничто, основательно считая нелепым предположение, будто существует какое-либо положительное количество или часть протяжения, которая, даже будучи бесконечно умноженной, никогда не сравнится с наименьшим данным протяжением. А, с другой стороны, не менее нелепым кажется мнение, будто квадрат, куб или другая степень положительного реального основания есть, как таковая, ничто, как это должны утверждать те, которые признают бесконечно малые величины первого порядка, отрицая высшие их порядки.
131. Не вправе ли мы отсюда заключить, что и те и другие ошибаются и что в действительности нет такой вещи, как бесконечно малые части или бесконечное число частей, содержащееся в конечной величине? Вы, однако, скажете, что если принять это мнение, то окажется, что сами основания геометрии будут подорваны и что те великие люди, которые возвели эту науку на такую изумительную высоту, все в конце концов строили лишь воздушные замки. На это можно возразить, что все полезное в геометрии и идущее на пользу человеческой жизни остается прочным и непоколебленным и при наших принципах, что наука, рассматриваемая с точки зрения практической, извлечет больше пользы, чем вреда, из того, что сказано. Но верное освещение этого вопроса и обнаружение того, каким образом линии и фигуры могут быть измеряемы и их свойства исследуемы без предположения бесконечной делимости конечного протяжения, может составить надлежащую задачу особого исследования. В конце концов если бы даже оказалось, что некоторые из самых запутанных и утонченных частей умозрительной математики могут отпасть при этом без всякого ущерба для истины, то я не вижу, какой вред произойдет от того для человечества. Напротив, было бы я полагаю, в высшей степени желательно, чтобы люди величайших дарований и упорнейшего прилежания отвратили свои мысли от этих забав и употребили их на изучение таких вещей, которые ближе касаются нужд жизни и оказывают более прямое влияние на нравы.
132. Если говорят, что некоторые, несомненно истинные, теоремы были открыты при помощи методов, в которых применяются бесконечно малые величины, что было бы невозможно, если бы существование последних заключало в себе противоречие, то я отвечаю, что при тщательном исследовании окажется, что ни в каком случае не необходимо пользоваться бесконечно малыми частями конечных линий или вообще количеств или представлять их себе меньшими, чем minimum sensibile; скажем более: очевидно, что иначе никогда и не делается, ибо делать это невозможно. И что бы математики ни думали о флюксиях, дифференциальном исчислении и т.п., небольшого размышления достаточно для убеждения в том, что, следуя этим методам, они не представляют себе или не воображают линий или поверхностей меньших, чем воспринимаемые в ощущениях. Они, конечно, если им угодно, могут называть эти малые и почти неощущаемые количества бесконечно малыми или бесконечно малыми частями бесконечно малых; но в конце концов этим все и исчерпывается, так как эти количества в действительности конечны, и решение задач не требует какого-либо иного предположения. Но об этом будет более ясно сказано впоследствии.
