Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - [23]

Контекст математики в некотором смысле подобен обстоятельствам, без которых, по мнению Хосе Ортеги-и-Гассета, невозможно понять «я». Контекст математики имеет много общего с ее историей, однако эти понятия всё же различаются.

Уточним фразу, которая показалась неправдоподобной нашему прохожему и в которой усомнился недоверчивый математик. Математика действительно помогает нам познать себя: в столкновении абстрактного мира математики и мира эмоций, где обитают первооткрыватели и изобретатели, рождается свет, который достигает самых темных уголков человеческой натуры.

Именно поэтому математический контекст позволяет нам лучше оценить красоту математики. Как мы уже объясняли в главе 2, главное различие между литературой и математикой с эстетической точки зрения заключается в том, что предметом их рассмотрения являются разные объекты. Литература изучает чувства, эмоциональную составляющую человеческой природы, а математика рассматривает числа, фигуры и абстракции. Чувства и эмоции нам хорошо знакомы, благодаря этому мы можем понять эстетическую ценность романа, в то время как холодность и абстрактность математических объектов затрудняют их восприятие. Именно поэтому важно учитывать эмоциональный контекст, которого не лишена математика: он позволяет очеловечить математику и предрасполагает к эстетическому наслаждению.

Однако, как мы отмечали в предисловии, цель этой книги — не засыпать читателя аргументами и доводами, а привести примеры, на основе которых он сделает собственные выводы. В этой главе мы расскажем о том, как противопоставление абстрактного характера математики и эмоций тех, кто ее создал, помогает насладиться красотой науки и лучше понять человеческую природу. В качестве примера мы выбрали бесспорно красивые математические объекты — фракталы, а эмоциональный контекст предоставят события из жизни математика Феликса Хаусдорфа (1868–1942), предсказавшего существование фракталов.

* * *

ДРЕВНЕЙШАЯ ИЗ НАУК

Не будем подробно описывать обстоятельства, которые связывают математику с наиболее эмоциональной частью человеческой природы и восходят к моменту зарождения науки. Момент зарождения математики ознаменован созданием чисел. Не будем забывать, что числа ожидают нас «на кончиках пальцев», они словно являются частью нашего тела. Также не будем забывать, какую огромную роль сыграли наши руки в том, кто мы есть сейчас. Истоки человеческой истории окутаны мраком, поэтому сложно оценить, чему люди научились раньше: считать на пальцах, рисовать на стенах пещер, хоронить умерших или создавать божеств. Для всех этих действий, в том числе для счета, характерны неустанная борьба страстей и здравого смысла. Всё это позволяет назвать математику древнейшей из наук. Как видите, эмоциональный контекст пронизывает ее до самых корней, восходящих к древнейшей истории homo sapiens как вида.

* * *

Фракталы и размерность Хаусдорфа

Фрактал можно назвать множеством, аномальным с точки зрения наших органов чувств. Однако его аномальность относится к особенностям нашего восприятия. В основе этой аномальности лежит понятие размерности пространства, и это понятие существенно расширил немецкий математик Феликс Хаусдорф в 1919 году.

Открытия немецкого математика Феликса Хаусдорфа впоследствии позволили сформировать современную теорию фракталов.

Хаусдорф счел классическое определение размерности объектов очень узким как с математической, так и с философской точки зрения, а классификацию тел согласно их размерности — примитивной. Он сказал, что будет несколько затруднительно и, возможно, даже некорректно считать, что объект имеет размерность 1, если он имеет только длину (например, нить или пружина), размерность 2 — если он имеет длину и ширину (лист бумаги или поверхность сферы), и размерность 3, если, помимо длины и ширины, он имеет высоту (сфера или коробка для обуви). Чтобы расширить классическое понятие размерности, Хаусдорф предложил новое определение, более сложное и общее с математической точки зрения.

Величина, введенная Хаусдорфом, позволяет намного точнее определить размерность объекта. Вопреки тому, что нам подсказывают органы чувств, существуют объекты, размерность которых выражается дробями, например 1/2, иррациональными числами, в частности √5, и даже еще более необычными числами. Прошло больше 50 лет с момента, когда Хаусдорф ввел новое понятие размерности, прежде чемБенуа Мандельброт (1924–2010), французский математик польского происхождения, определил фракталы как множества, имеющие дробную размерность Хаусдорфа.

Бенуа Мандельброт, математик, который ввел термин «фрактал». На этой фотографии он изображен на конференции в Варшаве в 2005 году.

Чтобы объяснить понятие размерности Хаусдорфа в общем виде (именно это определение привел сам Хаусдорф), потребуются серьезные знания математики. Тем не менее существует альтернативное определение, не до конца точное, но позволяющее читателю оценить смысл этого понятия. Это альтернативное определение размерности ввели русские математики Лев Понтрягин и Лев Шнирельман. Удивительно, что Понтрягин был слепым — он лишился зрения в 14 лет в результате несчастного случая.