Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - [23]

В этой же главе речь пойдет о реальных инвестициях. Простой пример — бизнес, который каждый год приносит постоянный доход а_i  = 1000 евро на вложенный капитал х (его величина в этой задаче является неизвестной). Если нам известен годовой показатель окупаемости r инвестиций х, например r = 5 %, можно определить объем вложенного капитала.

По формуле простых процентов получим:

а_i  = r∙х,

х = а_i/r.

Следовательно, 1000 = r∙х, откуда х = 1000/0,05 = 20000. Капитал, позволяющий получать постоянный доход в 1000 евро в год, равен 20 000 евро.

Любые инвестиции в бизнес или промышленность предполагают несение расходов в первый год, а также получение прибылей или несение убытков ежегодно в течение всего срока инвестирования. Следовательно, речь идет о денежном потоке, который в первый год является отрицательным (расходы), а в последующие годы, когда проект или предприятие набирает обороты, — положительным (доходы), однако первые несколько лет работы проекта также могут оказаться убыточными.

Каждый инвестиционный проект, подобно живому существу, имеет свой жизненный цикл. Денежные выплаты рассчитываются в зависимости от срока инвестирования.

Инвесторы часто задаются вопросом: будет ли положительный денежный поток в течение жизненного цикла инвестиционного проекта достаточным, чтобы окупить вложенные средства. В течение жизненного цикла проекта покупательная способность денег из-за инфляции снижается, поэтому инвестора интересует не только то, сможет ли он вернуть вложенную сумму, но и то, будет ли покупательная способность полученных доходов, скорректированная с учетом инфляции, больше покупательной способности вложенных средств.

Очевидно, что 100 долларов сегодня стоят больше, чем 100 долларов через четыре года, особенно если ожидается, что в следующие четыре года инфляция будет составлять 5 % годовых. Если мы будем получать годовой доход, например, равный 100 долларам, в этом году и в последующие четыре года, то очевидно, что 100 долларов, которые мы получим в следующем году, из-за инфляции будут составлять всего 95 % от своей нынешней стоимости. А на третий год стоимость полученных нами 100 долларов будет эквивалентна всего 90,25 доллара.

Реальная стоимость денег при условии, что мы получаем годовой доход в размере 100 долларов в течение 5 лет при уровне инфляции в 5 %, то есть реальная стоимость 500 долларов, составит:

первый год: 100;

второй год: 100/1,05 = 95,23809524;

третий год: 95,23809524/1,05 = 90,70294785;

четвертый год: 90,70294785/1,05 = 86,38375985;

пятый год: 86,38375985/1,05 = 82,27024748.

* * *

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЧДД

Расчет ЧДД (чистой приведенной стоимости, или чистого дисконтированного дохода от инвестиционного проекта) производится следующим образом. Рассмотрим проект, требующий начальных вложений а₀, который приносит ежегодный доход. Обозначив денежный поток (положительный или отрицательный) в году i через а_i, срок проекта — через n лет, уровень инфляции — через r, получим приведенную стоимость дохода за второй год а₂, то есть сумму денег, обладающую той же покупательной способностью: а₂ = а/(1 + r). Логично, что стоимость денежной единицы во втором периоде из-за инфляции будет меньше, чем в первом.

Обобщив эти рассуждения на весь жизненный цикл проекта в n лет и сложив величины всех годовых денежных потоков, получим приведенное значение суммарного денежного потока за n лет:

Σⁿ_i=1 а_i  = а₁+ а₂ + а₃ + а₄+ a₅ +… + а_n.

Приведенный доход в каждом периоде рассчитывается следующим образом:

И так далее до года n: а_n  = а₁∙(1 + r)^-(n-1).

Аналогично, если в нулевом году мы вложили средства i на n лет, считая с нулевого года, и каждый год начиная с первого будем получать положительный или отрицательный денежный поток а₁+ а₂ + а₃ +… + а_n, чистый дисконтированный доход от инвестиции, учитывая прогнозный уровень инфляции r, составит:

ЧДД = — a₀ + a₁∙(1 + r)^-1 + a₂∙(1 + r)^-2 +… + a_n∙(1 + r)^-n

где а₀ имеет отрицательное значение, так как инвестиция осуществляется в нулевой год.

* * *

Приведенная величина денежного потока в размере 100 долларов в год в течение 5 лет с учетом инфляции в следующие четыре года будет равна:

100 + 95,23809524 + 90,70294785 + 86,38375985 + 82,27024748 = 454,59505042.

Следовательно, приведенная величина совокупного денежного потока за пять лет будет на 9,0809899 % меньше номинала в 500 долларов.

Рассмотрим пример с вложением в размере I = 1000 000 евро в оборудование, срок службы которого составляет 10 лет. Жизненный цикл проекта равен десяти годам, считая с нулевого года, в котором осуществляется инвестирование. Прогнозный годовой доход на следующие 10 лет приведен в таблице.

Инвестор хочет знать, достаточно ли этих доходов для того, чтобы окупить вложенные средства и получить определенную прибыль, при условии что прогнозный уровень инфляции составит 5 %. По формуле ЧДД имеем:

a₀ + I

ЧДД = — a₀ + a₁∙(1 + r)^-1 + a₂∙(1 + r)^-2 +… + a_n∙(1 + r)^-n =

= -1000 000 + 15 000(1,50)^-1 +16 000(1,50)^-2 + 120 000(1,50)^-3 + 150 000(1,50)^-4 + 80 000(1,50)^-5 + 1 50 000(1,50)^-6 + 170 000(1,50)^-7 + 180 000(1,50)^-8 + 125 000(1,50)^-9 + 250 000(1,50)