Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - [40]

, то есть в виде р = 2n. Имеем

2q²= р² = (2n)² = 4n².

Упростив равенство, получим

q² = 2n².

Иными словами, q² четное, поэтому q также четное. Мы пришли к выводу, что и р, и g — четные числа, таким образом, числитель и знаменатель дроби p/q имеют общий множитель, что противоречит исходной гипотезе. Это означает, что √2 нельзя представить в виде частного двух целых.

Первые приближенные значения √2 содержали всего 4–5 знаков после запятой.

Достаточно точное значение, содержащее 65 знаков после запятой, записывается так:

√2 

1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799.

С помощью современных компьютеров можно получить приближенное значение этого числа, содержащее несколько миллионов знаков после запятой.

Множества чисел

Определение различных множеств чисел сложно для понимания и требует знаний математики, выходящих за рамки этой книги. Существуют альтернативные определения, менее строгие, но более понятные, которые основываются на практическом применении множеств для решения уравнений. Отправной точкой являются так называемые натуральные числа. Множество натуральных чисел 1, 2, 3, … обозначается буквой

. Это множество записывается так:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….}

Некоторые авторы не включают 0 в множество натуральных чисел, что совершенно оправданно: это число появилось в результате длительных и глубоких размышлений, поэтому его сложно назвать натуральным, то есть естественным.

На множестве натуральных чисел решаются уравнения вида

х — 2 = 0.

Однако уравнения вида х + 2 = 0 на этом множестве решить нельзя, так как отрицательные числа не являются натуральными. Если добавить к множеству натуральных чисел отрицательные числа и 0, получим целые числа. Множество целых чисел обозначается буквой

.

Аналогичным образом вводятся остальные множества чисел. Например, для решения уравнений вида

2х + 3 = 0,

корнем которого является х = — 3/2, необходимо ввести множество рациональных чисел

. Для уравнений вида

х² — 2 = 0

следует ввести множество иррациональных чисел. Объединение этого множества и множества рациональных чисел является множеством вещественных чисел

.

Наконец, уравнение

х² + 2 = 0

не имеет вещественных решений, так как не существует такого вещественного числа,

которое было бы квадратным корнем отрицательного числа. Следующий шаг, позволяющий решить уравнения такого типа, — введение комплексных чисел, множество которых обозначается буквой

. Этот шаг также является последним, потому что было доказано: любое уравнение с комплексными коэффициентами всегда имеет решение (основная теорема алгебры).

Каждое из определенных нами множеств включает предыдущее (является его алгебраическим расширением):

Библиография

BOYER С.В. Historia de la matemática, Barcelona, Destino, 2009.

CANTOR G. Fundamentos para una teoría general de conjuntos, Madrid, Alianza Universidad, 1986.

COLLETTE J.P. Historia de la matemática, Madrid, Siglo XXI, 1985.

DEDEKIND R. ¿Qué son у para que sirven los números? Madrid, Alianza, 1998.

GUTHRIE Ch. Historía de la filosofía griega, Madrid, Gredos, 2009.

KLINE M. El pensamiento matematico de la Antigiiedad a nuestros días, Madrid, Alianza Universidad, 1992.

MANKIEWICZ R. Historia de las matemáticas, Barcelona, Paidós, 2005.

MONNOYEUR F. El infinito de los matemáticos, el infinito de los filósofos, Paris, Editions Belin, 1995.

MOSTERIN J. Los lógicos, Madrid, Espasa Calpe, 2000.

STEWART I. De aquí al infinito, Barcelona, Crítica (Grijalbo Mondadori), 1998.

ZELLINI P. Breve historia del infinitoy Madrid, Siruela, 2003.

* * *

_{Научно-популярное издание}

_{Выходит в свет отдельными томами с 2014 года}

_{Мир математики}

_{Том 18}

_{Эирике Грасиан}

_{Открытие без границ.}

_{Бесконечность в математике}

_РОССИЯ

_{Издатель, учредитель, редакция:}

_{ООО «Де Агостини», Россия}

_{Юридический адрес: Россия, 105066,}

_{г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1}

_{Письма читателей по данному адресу не принимаются.}

_{Генеральный директор: Николаос Скилакис}

_{Главный редактор: Анастасия Жаркова}

_{Выпускающий редактор: Людмила Виноградова}

_{Финансовый директор: Наталия Василенко}

_{Коммерческий директор: Александр Якутов}

_{Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук}

_{Менеджер по продукту: Яна Чухиль}

_{Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:}

 _{8-800-200-02-01}

_{Телефон горячей линии для читателей Москвы:}

 _{8-495-660-02-02}

_{Адрес для писем читателей:}

_{Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,}

_{«Де Агостини», «Мир математики»}

_{Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).}

_{Распространение:}

_{ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»}

_{УКРАИНА}

_{Издатель и учредитель:}

_{ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина}

_{Юридический адрес: 01032, Украина,}

_{г. Киев, ул. Саксаганского, 119}

_{Генеральный директор: Екатерина Клименко}

_{Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:}

_{0-800-500-8-40}

_{Адрес для писем читателей}