Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - [25]

Можно определить степень скопления людей с помощью параметра, который будет описывать, например, изменение расстояния между людьми в очереди по мере приближения к ее началу. Как правило, этот параметр будет постепенно уменьшаться.

В очереди, например у входа в кинотеатр, люди собираются у дверей, где расстояние между ними будет минимальным. По мере отдаления от входа расстояние между людьми увеличивается.

Степень скопления людей можно определить, выбрав в качестве единицы измерения конкретное расстояние, например 50 см. Если в 50 см от входа находятся люди, это будет соответствовать определенной степени скопления. В зависимости от величины этой единицы измерения число людей будет изменяться. Аналогично можно измерить степень скопления людей, оценив расстояние между ними.

Здесь возникает первый интересный вопрос: когда мы видим скопление людей, логично предположить, что они собрались по какой-то причине, то есть это скопление возникает вокруг определенного места, где происходит что-то важное. Когда мы видим на дороге скопление муравьев, то сразу же понимаем, что где-то поблизости находится еда или вход в муравейник. Еще один пример — скопление машин на автомагистрали, которое служит признаком того, что поблизости находится пункт оплаты проезда или произошла авария. Эти примеры помогут нам понять одно из самых интересных открытий в истории математики. Оно касается существования определенных чисел, которые в течение веков скрывались в мире бесконечно малых.

В предыдущих примерах речь шла о дискретных множествах. Рассмотрим непрерывные величины, так как они допускают возможность бесконечного деления.

Оставим скопления людей и автомашин и рассмотрим возможные множества точек на прямой. Допустим, что дана последовательность точек а₁, a₂, а₃, а_n…, которые обладают одним свойством: соседние члены последовательности располагаются все ближе и ближе друг к другу. Очевидно, что они скапливаются вокруг некоторой точки — обозначим ее Р. Допустим, что выбранной нами основной мерой длины является отрезок длиной d. Если мы поместим один конец этого отрезка в точку Р, то увидим, что некоторые точки последовательности окажутся внутри этого отрезка длиной d.

Более того, мы сможем найти точку а_n, после которой все точки будут располагаться внутри отрезка d. Если мы уменьшим длину отрезка и сделаем ее равной d' < d, то все точки, начиная с более удаленной, а_m, будут располагаться внутри этого нового отрезка. Именно такое значение имеет эпсилон в математическом анализе.

Мы можем гарантировать, что для любой величины d всегда найдется такое n, начиная с которого все элементы последовательности будут находиться внутри отрезка d. В этом случае говорят, что последовательность сходится в точке Р. Это означает следующее: во-первых, эта последовательность бесконечна, во-вторых, расстояние между точкой Р и произвольным членом последовательности может быть сколь угодно малым.

Когда мы работаем с дискретными множествами, все изложенное выше практически неприменимо. Рассмотрим последовательность чисел 100, 50, 25, 12, 6, 3, 1 (можно представить эту последовательность как очередь из семи чисел у входа, которым, например, является ноль). Очевидно, что разница между произвольным членом последовательности и нулем постепенно уменьшается, равно как и разница между двумя соседними членами последовательности. Например, между 100 и 50 находится 49 чисел, между 6 и 3 — всего два. Тем не менее нельзя сказать, что члены последовательности скапливаются в окрестности точки 0. Очевидно, что если мы возьмем отрезок длиной 1/2 и поместим один из его концов в точку 0, на этом отрезке не будет находиться ни один член последовательности. А если мы рассмотрим последовательность

то вблизи нуля всегда будет находиться какой-либо ее член, сколь бы малым ни было расстояние до нуля.

На языке математики эти расстояния называются окрестностями. Окрестность подобна скобкам, в которые заключена точка Р. Основная идея заключается в том, что сколь малыми ни были бы эти скобки (то есть радиус окрестности), в них всегда будут находиться элементы последовательности. В языке эпсилон-дельта основную роль играет соотношение между двумя числами: шириной скобок (радиусом окрестности, который обычно обозначают ε — эпсилон) и числом n, определяющим элемент а_n, начиная с которого все элементы последовательности будут располагаться внутри заданной окрестности. На языке математики это звучит так: «Для любого эпсилон существует n, такое что…»

Именно так определяется понятие бесконечного деления, очень близкое к понятию предела. Когда в одном из парадоксов Зенона интервал делится пополам бесконечное число раз, мы формируем последовательность, подобную описанной в предыдущем примере. Теперь мы можем воспользоваться строгим определением перехода к пределу и подтвердить, что последним членом последовательности будет 0. Это не помогает разрешить парадокс, так как ситуация, по сути, не изменилась: точки образуют бесконечную последовательность и скапливаются вблизи нуля, и мы считаем, что существует последняя точка последовательности, 0, но в действительности 0 не является членом этой последовательности. Это утверждение не является оправданным, но четко определено на языке математики. Как говорил Бертран Рассел, «математика может быть определена как доктрина, в которой мы никогда не знаем ни о чем говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим».