Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - [16]
Можно представить, что плоскость, рассекающая конус, движется непрерывно, без скачков. Если бы мы могли наглядно изобразить преобразование сечения, то увидели бы, как эллипс превращается, например, в окружность или гиперболу.
Кеплер определил эти преобразования на плоскости, начав с эллипса.
Напомним, что эллипс — это коническое сечение, которое можно определить как геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна. Допустим, что фокусами эллипса, который мы хотим преобразовать, являются точки F и F' — две точки, расположенные на большой оси эллипса. Если мы будем непрерывно сдвигать F вдоль большой оси в сторону F' эксцентриситет эллипса будет уменьшаться, пока F и F' не совпадут, и эллипс не превратится в окружность.
Если теперь мы будем сдвигать фокус F в сторону, противоположную F' эксцентриситет эллипса будет расти, а сам эллипс — сплющиваться (эксцентриситет — это величина, принимающая значения от 0 до 1, которая указывает, насколько эллипс по форме отличается от окружности). В определенный момент эллипс превратится в параболу — коническое сечение с единственным фокусом. Аполлоний определял параболу как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.
Если длинный путь точки F не закончится на бесконечности и продолжится дальше, эта точка совершит разворот в пространстве и снова появится слева от F' — в этом случае мы получим гиперболу. Иначе говоря, чтобы перейти от эллипса к гиперболе, нужно взять эллипс за концы, как за ручки, и согнуть, как показано на рисунке:
Гиперболу можно получить преобразованием эллипса. Для этого можно представить, что мы взялись за точки А и В обеими руками, как за руль автомобиля, и сложили эллипс, направив руки к себе. Таким образом, точка А перейдет в А', В — в В'.
Человек, расположенный лицом к нам, увидит у нас в руках две ветви гиперболы.
Единственная проблема заключается в том, что для этого преобразования требуется выполнить поворот, пройти через бесконечность, вернуться в исходное положение и взглянуть на эллипс, как будто ничего не произошло. Как могло случиться, что Кеплер, который считал, что Вселенная конечна, и был противником всех философских и математических теорий, в которых рассматривалась актуальная бесконечность, смог не моргнув глазом описать подобное преобразование? Говоря прямо, Кеплер переходил от одной теории к другой в соответствии с практическими интересами. Разумеется, мы говорим об интересах прикладной математики.
Понятие непрерывного отображения, которое мы схематично описали, впоследствии стало фундаментальным в проективной геометрии. Основная идея заключается в следующем: допустим, что мы обнаружили некоторое геометрическое свойство эллипса. Если мы будем перемещать один из его фокусов так, как мы объяснили выше, это свойство должно сохраниться. При перемещении фокуса эллипс будет становиться более или менее вытянутым. Если преобразование является непрерывным, настанет момент, когда это же свойство будет применимо к окружности, параболе или гиперболе.
Прием непрерывного изменения позднее использовал Блез Паскаль (1623–1662) в случае правильных многоугольников: он преобразовывал, например, шестиугольник в пятиугольник, непрерывно сдвигая две вершины по направлению друг к другу, пока они не совпадут.
Как Кеплер решил проблему, возникающую при использовании этого метода при переходе к бесконечности? Он рассуждал так: прямая бесконечно продолжается с обоих концов, пока они не совпадут в одной точке. Для Кеплера Вселенная была конечной, но очень, очень, очень большой. Достаточно большой, чтобы вместить в себя все необходимое, и даже больше, но все-таки конечной.
Как бы то ни было, важно не только то, что Вселенная считалась достаточно большой, чтобы вместить в себя изгибающуюся прямую, концы которой, после того как охватят все сущее, совпадают (похожей идеи в некотором роде придерживался и Альберт Эйнштейн при формулировке понятия пространства-времени). Более важно, что Кеплер аккуратно подошел к понятию непрерывного преобразования.
Термин «квадратура» означает построение квадрата, равного по площади данной фигуре. Задача о вычислении площадей всегда была одной из самых популярных задач прикладной математики. Известны сравнительно простые способы вычисления площадей плоских фигур, ограниченных отрезками прямых. Теорема Пифагора и геометрия Евклида позволили вычислять площади треугольников и всевозможных прямоугольников. Более сложные фигуры можно было разбить на треугольники и прямоугольники. Для этого требовались немалые знания и умения, однако в большинстве случаев эта задача имела решение. Задача существенно усложнялась, если некоторые стороны фигуры были криволинейными — приемы вычисления их площадей не были известны. Греки производили подобные расчеты, однако им не удалось избавиться от неудобств, вызванных присутствием актуальной бесконечности.
Почему как только фигура перестает быть прямолинейной, в расчетах ее площади начинает фигурировать бесконечность и возникают связанные с этим проблемы?
