Теория струн и скрытые измерения Вселенной - [23]

поверхности, а бублик, с точки зрения топологии, перестанет быть бубликом). Если проследовать вдоль петли А, а затем вдоль петли В, то результирующий путь будет представлять собой новую петлю В×А. Напротив, если сначала обойти вокруг петли В, а потом вокруг петли А, возникнет петля А×В. Прайсман доказал, что в пространстве, кривизна которого всюду отрицательна — подобно внутренней поверхности седла, — петли В×А и А×В можно непрерывно преобразовать одну в другую путем изгиба, растяжения и сжатия только в одном особом случае: а именно, если петлю, кратную петле А (такую петлю можно получить, обойдя вокруг петли А один или целое число раз), можно плавно преобразовать в петлю, кратную петле В. В этом частном случае петли А и В носят название коммутирующих, точно так же, коммутирующими являются операции сложения и умножения (2 + 3 = 3 + 2 и 2 × 3 = 3 × 2), тогда как вычитание и деление некоммутативны (2 – 3 ≠ 3 – 2 и 2/3 ≠ 3/2).

Моя теорема имела несколько более общую форму, чем теорема Прайсмана. Данная теорема была применима к любому пространству неположительной кривизны (то есть либо отрицательной, либо — в отдельных местах — равной нулю). Для доказательства более общего случая мне пришлось прибегнуть к разделу математики, который никогда до этого не использовался в топологии или дифференциальной геометрии, — к теории групп. Группой в математике называется набор элементов, для которых выполняется определенный набор правил, таких как обязательное присутствие в группе нейтрального (например, единицы) и обратного (например, 1/x для каждого x) элементов. Группа является замкнутой, то есть, проведя определенную операцию над двумя элементами группы (такую, как сложение или умножение), мы получим еще один ее элемент. Помимо этого, в группе должен выполняться ассоциативный закон — а именно a × (b × c) = (a × b) × c.

Элементами той группы, которую рассматривал я (так называемой фундаментальной группы), были петли, которые можно изобразить на поверхности, такие как упоминавшиеся уже петли А и В. В том случае, если в пространстве есть нетривиальные петли, говорят, что пространство имеет нетривиальную фундаментальную группу. И напротив, если каждую петлю в пространстве можно стянуть в точку, то соответствующая фундаментальная группа будет тривиальной. Я доказал, что в том случае, если две петли коммутируют (то есть А × В = В × А), должна существовать «подповерхность» более низкой размерности — а именно имеющая форму тора, — находящаяся где-то внутри данной поверхности.

В двухмерном случае тор можно представить как «произведение» двух окружностей. Рассмотрим сначала одну окружность — она будет проходить вокруг дырки бублика, и представим, что все ее точки являются центрами одинаковых окружностей. Соединив вместе эти окружности, мы и получим тор. Мы как бы нанизываем колечки на нитку и связываем концы нитки вместе. Именно это и подразумевалось под утверждением, что тор — это произведение двух окружностей. В моей теореме (основанной, в свою очередь, на статье Прайсмана) в роли таких окружностей выступали петли А и В.

Конечно, наши с Прайсманом рассуждения носили скорее формальный характер и могут показаться вам малопонятными. Принципиально важным здесь является то, что наши доказательства показали, как глобальная топология поверхности влияет не только на ее локальную геометрию, но и на ее геометрию в целом. Петли в этом случае определяют фундаментальную группу, что является скорее глобальной, чем локальной особенностью пространства. Чтобы показать, что одну петлю можно непрерывно преобразовать в другую, необходимо рассмотреть поверхность в целом, обращаясь к глобальным свойствам данного пространства. По сути дела, вопрос о том, какие глобальные геометрические структуры соответствуют заданной топологии, является одним из основных вопросов современной геометрии. Так, если геометрическая поверхность топологически эквивалентна сфере, то ее кривизна всегда неотрицательна. Математики имеют на руках весьма длинный список подобных утверждений.

Поскольку мое доказательство показалось мне убедительным, по окончании зимних каникул я показал его одному из своих наставников, молодому преподавателю университета Блейну Лоусону. Лоусон согласился с ним и, используя некоторые идеи из той же статьи, мы совместными усилиями попытались доказать еще одну теорему, затрагивающую вопрос связи кривизны и топологии. Несомненно, я был доволен тем, что мне удалось внести определенный вклад в корпус математических знаний, хотя и не полагал, что сделал нечто особо примечательное. Я все еще искал тот путь, на котором мог бы оставить свой след.

Мне неожиданно пришло в голову, что ответ на вопрос, который меня интересовал, я смогу найти в курсе лекций по нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных, который я слушал в то время. Преподаватель, читавший нам эти лекции, профессор Чарльз Морри, производил на меня огромное впечатление. Его курс по предмету, который не пользовался большой популярностью, требовал огромных усилий для понимания, будучи основан на чрезвычайно тяжелой для чтения книге самого Морри. Вскоре после начала занятий на его лекциях не осталось других студентов, кроме меня, что во многом было обусловлено начавшимися в то время студенческими демонстрациями против бомбардировок Камбоджи. Впрочем, Морри не прекращал своих лекций, уделяя, по-видимому, достаточно большое внимание их подготовке несмотря на то, что посещал их теперь всего один студент.