Теория расчета нефтяных аппаратов высокого давления - [5]

Расчет колебаний аппаратов

Для решения задач колебаний колонных аппаратов необходимо учитывать зависимость изменения рассчитываемых параметров во времени.

Используется эквивалентная статическая задача, в которой каждый момент времени дискретизируется. Распределенная сила может быть заменена эквивалентной.

Для оболочек, как отмечает Зенкевич [16,с.352], записывается матрица масс конечных элементов (для плоских и изгибных напряжений), по которой находится общая матрица масс. Матрица масс строится аналогично матрице жесткости. Зенкевич на этом основании заключает, что решение задачи о колебаниях оболочек не вызывает затруднений.

В работе [16,с.176] Зенкевич отмечает, что введение инерционных членов в статическую задачу не усложняет решения. После вычисления матрицы масс элементов, задача принимает вид стандартной системы с конечным числом степеней свободы.

Для оболочки, совершающей перемещения (движение) динамическая задачи переводится в статическую задачу приложением сил от ускорения (по принципу д’Аламбера).

Колебания без затухания

В работе [16,с.176] показано, что расчет упругой конструкции в условиях статической нагрузки описывается уравнением:

В этом уравнении [K] – матрица жесткости объединенной конструкции, {δ} – матрица всех узловых смещений, {Р} – матрица всех узловых нагрузок.

{F}p – силы в узлах от распределенных нагрузок, см. [38,с.176],

{F}ε0 – силы в узлах от начальной деформации, см. [38,с.21].

Матрица динамических сил в узлах [16,с.176]:

Матрица распределенной нагрузки [16,с.177]:

Распределенная нагрузка выражается в виде эквивалентных узловых сил [16,с.177]:

После подстановки в первоначальное уравнение [16,с.177]:

Матрица внешних масс, прикладываемых к узлам сетки [16,с.177]:

Матрица масс, объединяющая матрицы масс конечных элементов [16,с.177]:

Колебания с затуханием

Для колебаний с затуханием первоначальное уравнение записывается в виде [16,с.186]

([С] – матрица затухания колебаний)

Матрица затухания колебаний [С] находится аналогично матрице масс [М].

Для внешней силы можно записать [16,с.186]:

C учетом этой записи получается форма решения в виде [16,с.186]:

Первоначальное уравнение, решенное относительно {δ0} [16,с.186]:

Из последнего уравнения записывается система двух уравнений [16,с.187]:

с учетом записи {δ0} является комплексным и [16,с.186]:

Реакция конструкции с затуханием колебаний на периодическое воздействие силы с угловой частотой ω находится решением системы уравнений [16,с.187].

Получение n собственных величин и {δ’0}I собственных форм колебаний получается решением уравнения [16,с.178]:

Свободные колебания

В случае свободных колебаний, уравнение, указанное для колебаний без затухания записывается в виде [16,с.178]:

Колеблющаяся конструкция представляет собой систему с конечным числом степеней свободы. Каждая точка конструкции движется в заданной фазе [16,с.178]:

Уравнение для задач на собственные колебания [16,с.178]:

Для угловой частоты ω получится n значений при размерах матриц [K] и [M] nxn.

Каждая частота свободных колебаний ω связана со своей модой {δ0}. В модах установлены соотношения узловых смещений, но отсутствуют их значения [16,с.178].

Задача на собственные значения записывается в виде [16,с.178]:

Так как

по данным [16,с.179]

Определяются значения λ для основных периодов и по ним находятся формы колебаний {Z}, а затем формы мод {δ0} [16,с.179].

Функционал МКЭ позволяет выполнять все виды нормативных расчетов на прочность и жесткость, а также расчет на колебания колонного аппарата. Примеры выполнения расчетов МКЭ для вертикального аппарата емкостного типа на опорных стойках приведен в источнике [17], пример расчета вертикального нефтяного аппарата сложной конструкции, представляющей собой агрегат из нескольких элементов, приведен в источнике [18].

Список литературы

1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теория упругости. М.: ОГИЗ, 1948.

2. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности. М.: ГИТТЛ, 1953.

3. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: СУДПРОМГИЗ, 1958.

4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979.

5. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Госиздат технико-теорет. л-ры, М.: Наука, 1955.

6. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1956.

7. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1959.

8. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть первая. Упруго-пластические деформации. М.: ОГТЗ, 1948.

9. Папкович П.Ф. Теория упругости. М.: ОГИЗ, 1939.

10. Бабицкий И.Ф., Вихман Г.Л., Вольфсон С.И. Расчет и конструирование аппаратуры нефтеперерабатывающих заводов. 2-е изд. М.: Недра, 1965.

11. Вихман Г.Л., Круглов С.А. Основы конструирования аппаратов и машин нефтеперерабатывающих заводов. Учебник для студентов вузов. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1978.

12. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962.

13. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов.– М.: Мир. 1981.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир. 1971.

15. Сегерлинд Л. – Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979.

16. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред. – М.: Недра. 1974.