Теория катастроф - [38]

К разделу 6

Диссертация Пуанкаре:

Poincare Н. Sur les proprietes des fonctions definies par les equations aux differences partielles Paris.: G. V. 1879, Oeuvres de Henry Poincare, Tome I, Paris: Gauthier — Villars. 1951, XLIX — CXXIX.

Диссертация содержит, между прочим, теорему о версальных деформациях для нульмерных полных пересечений (лемма IV на стр. XI) и метод нормальных форм.

Работы Андропова по теории структурной устойчивости и теории бифуркаций были представлены уже в докладе:

Андронов А. А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзная конференция по колебаниям. — М.; Л.: ГТТИ, 1933. — С. 32 — 72; Андронов А. А. Соб. соч. М., 1956. — С. 85 — 124).

Его статья 1939 г. (совместная с Е. А. Леонтович) содержит исследование обоих типов бифуркации рождения цикла: локального (цикл рождается из положения равновесия) и нелокального (рождение цикла из петли сепаратрисы). См.:

Андронов А. А., Леонтович Е. А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметров // Учен. зап. Горьковского гос. ун-та. — 1939. — № 6. — С. 3 — 24.

Андронов А. А., [Витт А. А.], Xайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1937 (в поздних изданиях указывается, что фамилия второго автора была пропущена "вследствие трагической ошибки").

Работы об экспоненциальном разбегании траекторий суммированы в:

Аносов Д. В., Синай Я. Г. Некоторые гладкие эргодические системы // Успехи мат. наук. — 1967. — Т. 22, вып. 5. — С. 107 — 172.

Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук. — 1970. — Т. 25, вып. 1. — С. 113 — 185.

Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atomos. Sci. — 1963. — V. 20. — P. 130 — 141.

Приложения экспоненциального разбегания траекторий к теории гидродинамической неустойчивости описаны в:

Arnold V.I. Sur la geometrie differentielle des groups de Lie de dimension infinie et ses applications a l'hydrodynamique des fluicles parfaits // Ann. Inst. Fourier. — 1966. — V. 16, № 1. — P. 319 — 361.

Цитированные в тексте работы об оценках размерности аттракторов:

Ильятенко Ю. С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галёркинских приближений для уравнений Навье — Стокса // Успехи мат. наук. — 1981. — Т. 36, вып. 3. — С. 243 — 244.

Ильяшенко Ю.С., Четаев А. H. Слабо сжимающие системы и аттракторы галёркинских приближений для уравнений Навье — Стокса на двумерном торе // Успехи механики. — 1982. — Т. 5, вып. 1; 2. — С. 31 — 63.

Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы для эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных и оценки их размерности // Успехи мат. наук. — 1983. — Т. 38, вып. 4. — С. 133 — 187.

Теорема Богданова впервые была анонсирована в обзоре:

Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // Успехи мат. наук. — 1972. — 27, вып. 5. — С. 119 — 184.

Доказательства опубликованы в:

Богданов Р. И. Бифуркация предельного цикла в семействе векторных полей на плоскости // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1976. — Т. 2. — С. 23 — 35.

Богданов Р. И. Версальная деформация особенности векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1976. — Т. 2. — С. 87 — 65.

Случаи симметрии порядка 2, 8 или ≥5:

Мельников В. К. Качественное описание резонансных явлений в нелинейных системах. — Препринт / ОИЯФ. — Дубна, 1962. — Р. 1013. — С. 1 — 17.

Хорозов И. Е. Версальные деформации эквивариантных векторных полей для случаев симметрии порядка 2 и 3 // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. — 1979. — Т. 5. — С. 163 — 192.

Симметрия порядка 4:

Арнольд В. И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонанса и версальные деформации эквивариантных векторных полей // Функцион. анализ и его прил. — 1977. — Т. 11, вып. 2. — С. 1 — 10.

Нейштадт А. И. Бифуркации фазового портрета некоторых систем уравнений, возникающих в задаче о теории потери устойчивости вблизи резонанса 1:4// Прикл. математика и механика. — 1978. — Т. 42.- С. 830 — 840.

Березовская Ф. С., Xибник А. И. О бифуркациях сепаратрис в задаче о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса 1:4 // Прикл. математика и механика. — 1980. — Т. 44. — С. 938 — 943.

Затягивание потери устойчивости:

Шишкова М. А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // ДАН СССР. — 1973. — Т. 209, № 3. — С. 576 — 579.

Нейштадт А. И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось // Успехи мат. наук.- 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 300 — 301.

Нейштадт А. И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I, Н // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23, вып. 12. — С. 2060 — 2067; 1988. — Т. 24, вып. 2. — С. 226 — 233.

Каскады удвоений:

Шапиро А. П. Математические модели конкуренции // Управление и информация.- Владивосток: Дальневосточ. науч. центр АН СССР, 1974. — Т. 10. — С. 5 -75.

Мау R. М. Biological populations obeying difference equations; stable points, stable cycles and chaos // J. Theor. Biol. 1975. V. 51. — P. 511 — 524.

Feigenbaum M. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. — 1978. — V. 19, № 1. — P. 25 — 52.