Теорема века. Мир с точки зрения математики - [16]

Для нас, ум которых сформировался под влиянием окружающего нас мира, не составило бы никакой трудности отнести к нашему евклидову пространству явления этого нового мира, если бы мы были в него внезапно перенесены. И, напротив, если бы существа из того мира были перенесены к нам, они должны были бы отнести наши явления к неевклидову пространству.

Но ведь с небольшими усилиями этого же могли бы достигнуть и мы.

Тот, кто всю свою жизнь посвятил бы такой задаче, может быть, оказался бы в состоянии представить себе четвертое измерение.

Пространство геометрическое и пространство представлений. Часто говорят, что образы внешних предметов локализованы в пространстве, что они даже не могут образоваться иначе, как при этом условии. Говорят также, что это пространство, которое таким образом служит готовым кадром наших ощущений и представлений, тождественно с пространством геометров, всеми свойствами которого оно обладает.

Всем, кто так думает, предыдущая фраза должна показаться крайне странной. Но надо рассмотреть, не обманываются ли они некоторой иллюзией, которую более глубокий анализ мог бы рассеять.

Каковы, прежде всего, свойства пространства в собственном смысле? Я хочу сказать – того пространства, которое является предметом геометрии и которое я назову пространством геометрическим. Вот некоторые из наиболее существенных его свойств:

1. Оно непрерывно.

2. Оно бесконечно.

3. Оно имеет три измерения.

4. Оно однородно, т. е. все точки его тождественны между собой.

5. Оно изотропно, т. е. все прямые, которые проходят через одну и ту же точку, тождественны между собой.

Сравним теперь его с кадром наших представлений и ощущений, который я мог бы назвать пространством представлений.

Пространство визуальное. Рассмотрим сначала чисто зрительное впечатление, обусловливаемое изображением, возникающим на сетчатке. Краткий анализ показывает, что это изображение непрерывно, но обладает только двумя измерениями; это уже составляет отличие между пространством геометрическим и тем, что можно было бы назвать чисто визуальным пространством. Далее, этот образ заключен в ограниченном кадре.

Наконец, существует еще одно отличие, не менее важное: это чисто визуальное пространство неоднородно. Различные точки сетчатки – независимо от изображений, которые могут на них возникать, – играют не одну и ту же роль. Никак нельзя считать желтое пятно тождественным с точкой, лежащей у края сетчатки. В самом деле, здесь не только самый предмет производит гораздо более живые впечатления, но здесь, как и во всяком ограниченном кадре, точка, занимающая центр кадра, не будет казаться тождественной с точкой, близкой к одному из кадров.

Более глубокий анализ, без сомнения, показал бы нам, что эта непрерывность визуального пространства и его два измерения суть не более чем иллюзия; этот анализ еще более отдалил бы визуальное пространство от геометрического. Но мы ограничимся здесь только этим замечанием, следствия из которого были достаточно рассмотрены в главе II.

Однако зрение позволяет нам оценивать расстояния и, следовательно, воспринимать третье измерение. Но всякий знает, что это восприятие третьего измерения сводится к ощущению усилия, сопровождающему аккомодацию, которую надо выполнить, и к ощущению, сопровождающему то схождение обеих глазных осей, которое необходимо для отчетливого восприятия предмета.

Мы имеем здесь мускульные ощущения, совершенно отличные от ощущений зрительных, которые дали нам познание первых двух измерений. Таким образом, третье измерение выступит перед нами не в той же роли, какую играют два других. А следовательно, то, что можно назвать полным визуальным пространством, не есть пространство изотропное.

Правда, оно имеет как раз три измерения, т. е. элементы наших зрительных ощущений (по крайней мере те из них, которые, слагаясь, образуют представление протяженности) будут вполне определены, когда известны три из них; выражаясь математическим языком, они будут функциями трех независимых переменных.

Но исследуем предмет несколько ближе. Третье измерение открывается нам двумя различными способами: благодаря усилию при аккомодации и вследствие схождения глазных осей.

Эти два рода показаний, без сомнения, всегда согласованы друг с другом. Между ними существует постоянное соотношение; выражаясь математически, две переменные, измеряющие оба типа мускульного ощущения, не выступают перед нами в качестве независимых, или еще, – чтобы не прибегать к математическим понятиям достаточно высокой сложности, – мы можем снова воспользоваться языком предыдущей главы и выразить тот же факт следующим образом: если два ощущения схождения осей A и В неразличимы, то и два соответственно сопровождающих их ощущения аккомодации А’ и В’ будут также неразличимы.

Но такое соотношение ощущений – это, так сказать, опытный факт; ничто не мешает a priori допустить обратное, и если окажется, что это обратное действительно имеет место, если эти два типа мускульных ощущений изменяются независимо один от другого, то мы должны будем ввести новую независимую переменную, и «полное визуальное пространство» выступит перед нами как физическая непрерывность четырех измерений.