Сомневайся во всем - [40]
Если нам нужно произвести сложение или вычитание, то мы будем представлять предмет в виде линии или величины, обладающей протяжением, в которой нужно рассматривать только длину, так как если нужно прибавить линию а
то мы соединим их друг с другом таким образом: аb
и получим сумму c.
Если же, наоборот, нужно вычесть меньшую величину из большей, т. е.
b
то мы наложим их одну на другую таким образом:
и получим часть большей, которая не может быть прикрыта меньшей, а именно:
В умножении мы будем представлять данные величины тоже в виде линий, но вообразим, что они составляют прямоугольник. Если мы умножаем а
и получим прямоугольник
С другой стороны, если мы хотим умножить аb на с
то аb нужно представлять в виде такой же линии аb
и мы получим для аbс:
Наконец, при делении, где дан делитель, мы будем воображать делимую величину в виде прямоугольника, одна сторона которого делитель, а другая — частное. Так, например, если прямоугольник аb требуется разделить на а,
то нужно стереть на нем ширину а, и в качестве частного останется b
Или, наоборот, если тот же прямоугольник требуется разделить на b, то нужно убрать высоту b и получится частное а:
Что касается таких делений, в которых делитель не дан, а только обозначен некоторым отношением, как, например, когда говорят, что нужно извлечь квадратный корень или кубический корень и т. д., то заметим, что в этих случаях делитель и все остальные члены нужно представлять как линии в ряде последовательных пропорций, из которых первой является единица и последней — делимая величина. Как нужно отыскивать все средние пропорциональные величины между делимым и единицей, будет показано в своем месте. Достаточно уже заметить, что мы еще не считаем поконченным здесь с этими действиями, так как они могут производиться воображением посредством непрямого и обратного действия, а мы говорим здесь только о вопросах, исследуемых прямо.
Что касается прочих действий, то они легко производятся при том способе их понимания, о котором мы говорили. Однако нужно объяснить, как должно подготовлять их термины, ибо хотя мы и свободны, впервые исследуя какую-либо трудность, представлять ее термины в виде линий или прямоугольников и не применять к ним никаких других фигур, как об этом говорилось уже в правиле XIV, но тем не менее в процессе действия часто бывают случаи, когда какой-либо прямоугольник, после того как он был произведен умножением двух линий, вскоре для другого действия требуется понимать как линию; или еще, когда один и тот же прямоугольник либо линию, произведенные сложением либо вычитанием, вскоре оказывается нужным понимать как другой прямоугольник, обозначенный вверху линией, которая должна его разделить.
Следовательно, здесь важно объяснить, как всякий прямоугольник может быть преобразован в линию или, наоборот, линия или также прямоугольник — в другой прямоугольник с обозначенной стороной. Это легко могут делать геометры, лишь бы они замечали, что всякий раз, когда мы, как здесь, составляем из линий какой-либо прямоугольник, мы всегда разумеем прямоугольник, одна сторона которого является длиной, принятой нами за единицу. Таким образом, вся эта задача сводится к положению: по данному прямоугольнику построить другой, равный ему, на данной стороне.
Хотя это действие привычно даже для тех, кто только что начинает заниматься геометрией, тем не менее я хочу его объяснить, чтобы меня не упрекали в каких-либо упущениях.
Наглядный смысл математических операций, как его излагает Декарт, может показаться тривиальным. Но именно эта тривиальность важна для Декарта. Он хочет показать, что все наши сложные рассуждения можно привести к такой простой форме, которая может показаться настолько тривиальной, что не оставит места для сомнений и заблуждений. Этой цели служит и простая математическая символика, которая для современного человека привычна, но для первых читателей декартова трактата была новой.
Путем такого метода вычисления нужно отыскивать столько величин, выраженных двумя различными способами, сколько неизвестных терминов мы предполагаем известными, для того чтобы исследовать трудность прямым путем. Именно таким образом мы получим столько же сравнений между двумя равными величинами
Составив уравнения, мы должны совершить ранее отложенные нами действия, никогда не пользуясь умножением, если уместно деление
Если имеется много таких уравнений, то нужно их привести все к одному, а именно к тому, термины которого займут наименьшее количество ступеней в ряде последовательно пропорциональных величин, где они и должны быть расставлены в соответствующем порядке
КОНЕЦ
Трактат остался неоконченным. Декарт остановился на 21-м правиле, хотя планировал описать 36. В первых двенадцати правилах Декарт представил все, что помогает сделать использование рассудка более легким. В следующих двенадцати он объясняет, как следует находить неизвестное решение вопросов, которые совершенно понятны. Наконец, последние двенадцать правил Декарт планировал посвятить разбору несовершенных и запутанных вопросов.
