Солнечная система (Астрономия и астрофизика) - [7]

любого тела есть вектор, равный производной по времени, от вектора положения r. Вектор ускорения w есть скорость изменения скорости, т.е. производная от скорости или, что то же, вторая производная от вектора положения. А сила и ускорение отличаются лишь скалярным множителем — массой.

Мы не будем здесь составлять и решать дифференциальные уравнения. Дадим лишь пояснения. Дифференциальное уравнение всегда имеет бесконечно много решений. Именно, фиксируем какой-либо момент времени t₀. Положения и скорости всех тел в этот момент могут быть произвольными. Если их закрепить, то положения всех тел для любого времени t как в будущем, так и в прошлом определяются однозначно. В астрономии принято t₀ называть начальной эпохой (хотя ничего ни первоначального, ни эпохального здесь нет), положения и скорости — состоянием системы, положения и скорости в начальную эпоху — начальными данными. Таким образом, состояние системы однозначно определяется начальными данными.

В качестве простейшего примера приведем движение по прямой по инерции как решение дифференциального уравнения движения частицы в бессиловом поле. Силы нет, ускорение равно нулю и уравнение тривиально:

ω=0.   (2)

Его общее решение описывает прямолинейное и равномерное движение:

υ=υ₀

r=r₀+υ₀(t-t₀),   (3)

где индексом 0 помечены положение и скорость в начальную эпоху. То, что линейные функции времени (3) удовлетворяют уравнению (2), очевидно. То, что других решений нет, вытекает из теоремы, согласно которой интеграл определяется однозначно с точностью до постоянного слагаемого.

Вернемся к Ньютону. Формула (1) была ясна ему (и не одному ему) интуитивно, по аналогии со светом. Освещенность от точечного источника в среде без поглощения ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния. С чего бы гравитации подчиняться другому закону? Но интуиция может подвести даже гения (таких случаев история знает сколько угодно). Главная заслуга Ньютона — доказательство закона тяготения. Ученый выбрал метод, похожий на доказательство от противного. Именно, он выводит проверяемые следствия (1) и убеждается, что все они согласуются с наблюдениями в пределах ошибки измерений. Если хоть раз натолкнуться на разительное противоречие, то закон тяготения надо похоронить. Если нет… Математик скажет, что из последнего ничего не следует. «Противное» может лишь опровергнуть ваше предположение, но не доказать его. Но астрономия, физика, все естественные науки в корне отличны от математики. Закон (1) проверялся тысячами ученых на миллионах объектов во всех частях Вселенной в самых разных условиях и всегда выходил победителем. Так что истинность его установлена с наивысшей степенью надежности.

Тут самое время сделать существенную оговорку. Согласно любой из развитых философий наши знания отражают действительность не точно, а с некоторой погрешностью. Прогресс науки заключается, в частности, в том, что эта погрешность усилиями ученых уменьшается, но нулем ее сделать невозможно. Некоторые отклонения в движениях светил от ньютоновских правил все же были обнаружены, что в конце концов привело к созданию А. Эйнштейном более совершенной теории тяготения, включающей ньютоновскую в предельном случае малых (по сравнению со скоростью света) скоростей и сравнительно слабых полей тяготения. Модель Эйнштейна получила странное имя — Общая теория относительности; о ней мы поговорим позже. А пока заметим, что в подавляющем большинстве случаев релятивистскими поправками (от лат. относительными поправками, что сбивает с толку настолько, что русский перевод никогда не употребляется; имеются в виду поправки, вводимые теорией относительности, общей или частной) можно пренебречь и считать ньютоновскую теорию абсолютной истиной. Рассмотрим, по каким траекториям будут тогда двигаться небесные тела.

Движение в главном поле

Траектории небесных тел сложны и запутаны. Чтобы в них разобраться, поступим согласно канонам теории возмущений. Именно, выделим главные силы, действующие на систему и пренебрежем всеми остальными. Полученную упрощенную систему назовем невозмущенной. Решим ее. А уже потом добавим другие, малые силы. А малое воздействие, — как принято говорить, малое возмущение, — учесть значительно легче (об этом позже).

Массы планет значительно меньше массы дневного светила. Юпитер в тысячу раз легче Солнца, Сатурн в три раза легче Юпитера, Земля в сто раз легче Сатурна… Поэтому в первом приближении можно считать, что на каждую из планет действует только притяжение Солнца.

Еще более идеализируем задачу, предполагая планету материальной частицей пренебрежимо малой массы. Но Солнце считать «частицей» нельзя, оно имеет внушительные видимые размеры. Примем, что Солнце — идеальный шар, плотность которого зависит лишь от расстояния до его центра. Как доказал И. Ньютон, шар притягивает внешние частицы как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. Мы пришли к модельной задаче одного притягивающего центра. Каковы траектории частицы в поле притяжения массивной центральной точки S? Как показал Ньютон, возможны четыре типа орбит: