Самоучитель UML - [10]
Наконец, было упомянуто и следующее понятие, различные аспекты которого будут служить темой рассмотрения во всех последующих главах. Это фундаментальное понятие отношения множеств, которое часто заменяется терминами связь или соотношение. Данный термин ведет свое происхождение от теории множеств и служит для обозначения любого подмножества упорядоченных кортежей, построенных из элементов некоторых исходных множеств. При этом под кортежем понимается просто набор или список элементов, важно только, чтобы они были упорядочены. Другими словами, если рассматривать первый элемент кортежа, то он всегда будет первым в списке элементов, второй элемент кортежа будет вторым элементом в списке и т. д. Можно ли это записать с использованием специальных обозначений?
Хотя и существует некоторая неоднозначность в принятых обозначениях, кортеж из двух элементов удобно обозначать как
Отношение в этом случае будет характеризовать способ или семантику выбора отдельных элементов из одного или нескольких множеств для подобного упорядоченного списка. В этом смысле взаимосвязь является частным случаем отношения, о чем будет сказано в последующем. К сожалению, диаграммы Венна не предназначены для иллюстрации отношений в общем случае. Однако отношения послужили исходной идеей для развития другой теории, которая даже в своем названии несет отпечаток графической нотации, а именно – теории графов. В этой связи наиболее важным является тот факт, что теоретико-множественные отношения послужили также основой для разработки реляционной алгебры в теории реляционных баз данных. Развитие последней привело к тому, что в последние годы именно реляционные СУБД конкретных фирм доминируют на рынке соответствующего программного обеспечения.
Теория графов
Граф можно рассматривать как графическую нотацию для бинарного отношения двух множеств. Бинарное отношение состоит из таких кортежей или списков элементов, которые содержат только два элемента некоторого множества. Хотя основные понятия теории графов получили свое развитие задолго до появления теории множеств как самостоятельной научной дисциплины, формальное определение графа удобно представить в теоретико-множественных терминах.
Графом называется совокупность двух множеств: множества точек или вершин и множества соединяющих их линий или ребер. Формально граф задается в виде двух множеств: G=(V, Е), где V={v1v2, ..., vn} – множество вершин графа, а Е={е1, е2, ..., еm} – множество ребер графа. Натуральное число n определяет общее количество вершин конкретного графа, а натуральное число m – общее количество ребер графа. Следует заметить, в общем случае не все вершины графа могут соединяться между собой, что ставит в соответствие каждому графу некоторое бинарное отношение PQ, состоящее из всех пар вида
Ниже представлены два примера конкретных графов (рис. 2.4). При этом первый из них (рис. 2.4, а) является неориентированным графом, а второй (рис. 2.4, б) – ориентированным графом. Как нетрудно заметить, для неориентированного графа ребро е1 соединяет вершины v1 и v2, ребро е2 – вершины v1 и v3, а ребро e3 – вершины v2 и v3 и т. д. Последнее ребро, e8, соединяет вершины v4 и v5, тем самым задается описание графа в целом. Других ребер данный граф не содержит, как не содержит других вершин, не изображенных на рисунке. Так, хотя ребра е6 и e7 визуально пересекаются, но точка их пересечения не является вершиной графа.
Для ориентированного графа (рис. 2.4, б) ситуация несколько иная. А именно, вершины v1 и v2 соединены дугой е1, для которой вершина v2 является началом дуги, а вершина v1 – концом этой дуги. Далее дуга е2 соединяет вершины v1 и v4, при этом началом дуги e2 является вершина v1, а концом – вершина v4.
Рис. 2.4. Примеры неориентированного (а) и ориентированного (б) графов
Графы широко применяются для представления различной информации о структуре систем и процессов. Примерами подобных графических моделей могут служить: схемы автомобильных дорог, соединяющих отдельные населенные пункты; схемы телекоммуникаций, используемых для передачи информации между отдельными узлами; схемы программ, на которых указываются варианты ветвления вычислительного процесса. Общим для всех конкретных подобных моделей является возможность представления информации в графическом виде в форме соответствующего графа. При этом отдельные модели, как правило, обладают дополнительной семантикой и специальными обозначениями, характерными для той или иной предметной области.
