Рассказы о математиках - [9]
Сочинение преимущественно посвящается решению уравнений первой и второй степени. В нем автор рассматривает «шесть случаев»:
1) x>2=ах; 4) x>2+a=b;
2) x>2=а; 5) x>2+a = bx;
3) ах=b; 6) ax+b=х>2.
Все эти случаи ал-Хорезми рассматривает на числовых примерах. Для решения подобных уравнений он предложил метод «восстановления» (ал-джебр) и «сопоставления» (вал-мукабала). Например, уравнение
х>2−5х−12 = х−14
посредством операции «ал-джебр» принимает вид
x>2+14 = х+5х+12,
а это уравнение после операции «вал-мукабала» приводится к виду
а>2+2=6х.
Следовательно, при помощи двух указанных выше операций данное уравнение сводится к установленной «нормальной» форме, в данном случае к пятой, т. е. к виду
x>2+a=bx
Для решения этого уравнения у ал-Хорезми имеется правило, выраженное в словесной форме, которое в современном обозначении сводится к формуле
Для решения квадратных уравнений ал-Хорезми, по-видимому, пользовался двумя приемами — арифметическим и геометрическим. Геометрический прием основан на приравнивании площадей, выражающих геометрическую интерпретацию заданного уравнения. Так, чтобы решить уравнение х>2+ах=Ь, рассматривался квадрат, состоящий из 4 прямоугольников и 5 квадратов (см. рисунок на стр. 52). Обозначив через S площадь исходного квадрата, получим
С другой стороны,
Приравнивая
правые части, получим
Откуда
Один персидский математик методы «ал-джебр» и «вал-мукабала» даже изложил стихами.
Что касается арифметического трактата ал-Хорезми, то он явился источником распространения в странах Ближнего и Среднего Востока и Европы десятичной позиционной системы счисления, заимствованной у индийских математиков.
Алгебраический и арифметический трактаты хорезмского ученого, конечно, трудно переоценить, ибо оба они сыграли огромную роль в истории не только математики, но и всей человеческой культуры.
В заключение надо отметить, что термин «алгебра», как международное название математической науки, произошел от слова «ал-джебр», т. е. от названия трактата ал-Хорезми «Хисаб ал-джебр вал-мукабала». Интересно отметить также, что термин «алгоритм» (общее решение любой математической задачи) есть не что иное, как искаженное имя «ал-Хорезми».
Авиценна (Ок. 980-1037 гг.)
Авиценна (Абу-Али ибн-Сина) — великий таджикский ученый-энциклопедист, много сделавший для процветания математической науки. Родился в бухарском селении Афшана. Уже в молодости стал видным ученым и овладел многими профессиями. Он был крупным астрономом, замечательным математиком, видным химиком и одаренным врачом-исследователем. В своих математических трудах Авиценна обобщил достижения своих современников и предшественников, а также ставил и разрешал собственные математические проблемы. Большую роль для развития математической науки сыграли комментарии и дополнения Авиценны к «Началам» Евклида.
В своей арифметике Авиценна решал проблемы, которые в настоящее время принадлежат к теории чисел. Об этом красноречиво говорят следующие два правила Авиценны.
Первое правило. «Если дано число, которое, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1. Если число, разделенное на 9, дает в остатке 2 или 7, то квадрат этого числа, разделенный на 9, дает в остатке 4. Если число, деленное на 9, дает в остатке 4 или 5, то его квадрат, деленный на 9, дает в остатке 7. Наконец, если число, деленное на 9, дает в остатке 3, 6 или 9, то его квадрат, разделенный на 9, дает в остатке 9».
Второе правило. «Если число, деленное на 9, дает в остатке 1, 4 или 7, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 1; если число, деленное на 9, дает в остатке 2, 5 или 8, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 8 и если число, деленное на 9, дает в остатке 3, 6 или 9, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 9».
Авиценна был непререкаемым авторитетом в самых разнообразных областях науки своего времени и по заслугам назывался тогда «главой философов». Историки рисуют Авиценну как человека, верившего в непобедимую силу разума, как борца против слепой веры в религиозные догмы и авторитет церкви. Он считал ложным утверждение церковников, будто бог управляет Вселенной и является вершителем судеб природы и общества. По мнению Авиценны, бог — недеятельная пустая абстракция, не имеющая никакого отношения к развитию окружающей нас материальной действительности, подчиняющейся только своим естественным внутренним законам. Великий ученый требовал, чтобы богословы не вмешивались в дела науки и не тормозили ее развития.
Кроме научных сочинений, Авиценна писал стихи. Силой и мужеством звучат его атеистические четверостишия, в которых полным голосом он клеймит религиозных фанатиков и невежд.
Так, в одном из таких четверостиший Авиценна писал:
