Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями - [4]
37. Смелая игра и осторожная игра
Человеку, находящемуся в Лас-Вегасе[3], нужны 40 долларов, в то время как он располагает лишь 20 долларами. Он не хочет телеграфировать жене о переводе денег и решает играть в рулетку (отрицательно относясь к этой игре) согласно одной из двух стратегий: либо поставить все свои 20 долларов на «чет» и закончить игру сразу же, если он выиграет или проиграет, либо ставить на «чет» по одному доллару до тех пор, пока он не выиграет или не проиграет 20 долларов. Какая из этих двух стратегий лучше?
38. Толстая монета
Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась бы 1/3?
Для решения следующих задач нужно знакомство с принципом симметрии.
39. Неуклюжий химик
В лаборатории имеется несколько стеклянных трубок, каждая длиной в 9 см, помеченных с одного конца красной меткой, а с другого — синей. Споткнувшийся лаборант роняет эти трубки на пол, в результате чего многие из них разбиваются на три части. Какова для таких трубок средняя длина куска с синей меткой?
40. Первый туз
Из хорошо перетасованной колоды в 52 карты, содержащей четыре туза, извлекаются сверху карты до появления первого туза. На каком месте в среднем появляется первый туз?
41. Задача о поездах
(а). На железной дороге N поездов с номерами 1, 2, ..., N. Однажды вам встретился поезд с номером 60. Угадайте, сколько поездов на железной дороге.
(б). Вы повстречали 5 поездов, причем 60 по-прежнему наибольший номер. Снова постарайтесь угадать, сколько всего поездов на железной дороге.
42. Короткий кусок стержня
(а). Если стержень ломается случайным образом на две части, то какова средняя длина меньшего куска?
(б). (Для лиц, знакомых с интегральным исчислением.) Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?
43. Сломанный стержень
Стержень ломается случайным образом на три части. Найти средние длины короткого, среднего и длинного кусков.
44. Выигрыш в небезобидной игре
Игра состоит из последовательности партий, в каждой из которых вы или ваш партнер выигрывает очко, вы — с вероятностью p (меньшей, чем ½), он — с вероятностью 1 − p. Число игр должно быть четным: 2, 4, 6 и т. д. Для выигрыша надо набрать больше половины очков. Предположим, что вам известно, что p = 0.45, и в случае выигрыша вы получаете приз. Если число партий в игре выбирается заранее, то каков будет ваш выбор?
Задачи о совпадениях (45 и 46)
45. Среднее число совпадений
Вот два варианта задачи о совпадениях:
(а). Из хорошо перетасованной колоды на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт?
(б). Секретарша отправляет письма по n различным адресам, причем конверты с адресами выбираются случайным образом. Сколько писем в среднем попадет в нужные конверты?
46. Вероятности совпадений
В условиях предыдущей задачи какова вероятность того, что произойдет ровно r совпадений?
47. Выбор наибольшего приданого
Король для испытания кандидата на пост придворного мудреца предлагает ему женитьбу на молодой придворной даме, имеющей наибольшее приданое. Суммы приданых записываются на билетиках и перемешиваются. Наудачу вытягивается билетик, и мудрец должен решить, является ли это приданое наибольшим. Если он выносит правильное решение, то получает эту леди в жены вместе с приданым, в противном случае — не получает ничего. При отказе от суммы, указанной на первом билете, мудрец должен вытянуть второй билет и отказаться или нет от него и т. д., пока не сделает выбор или не отвергнет все приданые. При дворе короля 100 привлекательных дам, все их приданые различны. Как должен действовать мудрец?
В предыдущей задаче мудрец не имел информации о распределении чисел на билетах. В следующей задаче это распределение ему известно.
48. Выбор наибольшего случайного числа
В качестве следующей задачи король предлагает мудрецу выбрать наибольшее из 100 чисел при тех же условиях, что и раньше, но на этот раз число на билете выбирается наудачу среди чисел от 0 до 1 (равномерно распределенные случайные числа). Какой должна быть стратегия мудреца?
49. Удвоение точности
Инструмент без систематической ошибки для измерения длин делает случайные ошибки, распределение которых имеет штандарт σ. Вам разрешается произвести всего два измерения для оценки длины двух цилиндрических стержней, один из которых явно длиннее другого. Можете ли вы придумать что-либо лучшее, чем сделать по одному измерению каждого стержня? (Для инструмента без систематической ошибки среднее наблюдений равно истинному значению.)
50. Случайное квадратное уравнение
Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x² + 2bx + c = 0 вещественны?
Случайные блуждания в дву- и трехмерном пространстве (51 и 52)
