Принцесса или тигр? - [59]

∈ A_k выдающее свою недоказуемость в данной системе, должно быть истинным, но недоказуемым в этой системе.)

Утверждения Гёделя и теорема Тарского

Рассмотрим теперь систему, удовлетворяющую условиям G₂; и G₃ (условие G₁ пока несущественно). Ранее мы определили P как множество гёделевых номеров всех утверждений, доказуемых в данной системе; пусть теперь Т будет множеством гёделевых номеров всех истинных утверждений в этой системе. В 1933 г. логик Альфред Тарский поставил вопрос: «Именуемо ли множество Т в данной системе или нет?» — и ответил на него. Ответ может быть получен на основе лишь условий G₂ и G₃. Однако, прежде чем говорить об этом, обратимся сначала к вопросу не меньшей важности — о системах, которые удовлетворяют по крайней мере условию G₃.

Для любого заданного утверждения X и любого множества положительных целых чисел А мы будем называть X гёделевым утверждением для A, если либо X истинно и его гёделев номер принадлежит A, либо X ложно и его гёделев номер не принадлежит A. (Подобное утверждение можно представлять себе как высказывание о том, что его собственный гёделев номер принадлежит A: если это утверждение истинно, то его гёделев номер действительно принадлежит A; если же оно ложно, то его гёделев номер не принадлежит A.) Далее, мы будем называть систему гёделевой в том случае, если для каждого множества A, допускающего наименование в этой системе, существует хотя бы одно гёделево утверждение для A.

При этом самым существенным для нас пунктом является следующая теорема.

Теорема С.Если система удовлетворяет условию G₃, то эта система является гёделевой.

1. Докажите теорему С.

2. В качестве частного случая рассмотрите систему Фергюссона. Найдите гёделево утверждение для множества A₁₀₀.

3. Предположим, что некоторая система является гёделевой (даже если она и не удовлетворяет условию G₃). Если эта система правильна и удовлетворяет условиям G₁, и G₂, то обязательно ли она содержит утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в данной системе?

4. Пусть Т — множество гёделевых номеров всех истинных утверждений. Существует ли гёделево утверждение для Т? Существует ли гёделево утверждение для множества T̅, то есть дополнения Т?

Вот теперь мы наконец можем ответить и на вопрос, поставленный Тарским. В самой общей форме теорема Тарского формулируется следующим образом:

Теорема Т.Для любой заданной системы, удовлетворяющей условиям G₂и G₃, множество Т гёделевых номеров истинных утверждений не именуемо в данной системе.

Примечание. Иногда слово «именуемо» заменяется словом «определимо», в результате чего теорему Т формулируют так: для достаточно богатой системы истинность в ее рамках не определима в пой системе.

5. Докажите теорему Т.

6. Следует отметить, что, доказав теорему Т, мы сразу и в качестве непосредственного следствия получаем теорему G. Может ли читатель сообразить, как это сделать?

Двойственная форма доказательства Гёделя

Те системы, которые, как доказал Гёдель, являются неполными, обладают также следующим свойством: с каждым утверждением X связано утверждение X', о называется отрицанием X, которое истинно в том только том случае, если утверждение X ложно. Далее, если X' — отрицание некоего утверждения X — доказуемо в данной системе, то само утверждение X называется опровержимым в данной системе. Если предположить, что система правильна, то ни одно ложно, утверждение в этой системе не будет доказуемо и ни одно истинное утверждение не будет в ней опровержимо.

Ранее мы убедились, что условия G₁, G₂ и G₃ влекут за собой существование некоего гёделева утверждения, или высказывания, G для множества, также что такое утверждение G является истинным, не. недоказуемым в данной системе (предполагая, конечно, что система правильна). Но поскольку G истинно, оно не может быть опровержимым в этой системе (опять, же в предположении правильности системы). Значит утверждение G в данной системе и не доказуемо, и неопровержимо. (Такое утверждение называется неразрешимым в данной системе.)

В своей монографии «Теория формальных систем»[10] (1960 г.) я рассматривал «двойственную» форму доказательства Гёделя, а именно: что будет, если вместо высказывания, утверждающего свою недоказуемость, построить высказывание, утверждающее свою опровержимость? Более строго эту проблему можно сформулировать так. Пусть R — множество гёделевых номеров опровержимых утверждений. Предположим, что X — гёделево утверждение для R. Что можно сказать о свойствах утверждения X?

Высказанная здесь идея развивается нами в следующей задаче.

7. Рассмотрим теперь правильную систему, которая удовлетворяет условию G₃, а вместо условий G₁, G₂ потребуем выполнения следующего условия.

Условие G'₁. Множество R именуемо в данной системе. (Таким образом, мы предполагаем, что система правильна и удовлетворяет условиям G₁ и G₃.)

а. Показать, что существует такое утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в данной системе.

б. Рассмотрим следующий частный случай: пусть нам дано, что A₁₀ — это множество R и что для любого числа n множество A_5*n представляет собой множество (таких чисел