Принцесса или тигр? - [58]

∈ A_y будем обозначать x*y. (Теперь уже нет нужды предполагать, что число x*y состоит из цепочки единиц длиной х, за которой следует цепочка нулей длиной у; сам Гёдель фактически использовал совсем другую кодовую нумерацию. Можно пользоваться самыми разными видами кодовой нумерации, и какой вид оказывался более удобным — это зависит от конкретного вида рассматриваемой нами системы. Так или иначе, для доказательства той общей теоремы, которую мы скоро докажем, нет необходимости вводить какую-то конкретную гёделеву нумерацию.)

Определенные утверждения в данной системе принимаются как аксиомы; кроме того, вводятся также некие специальные правила, по которым можно на основании этих аксиом доказывать различные другие утверждения. Таким образом, в данной системе имеется вполне определенное свойство утверждения, называемое его доказуемостью. Далее предполагается, что система правильна в том смысле, что каждое доказуемое в этой системе утверждение является истинным; отсюда, в частности, следует, что если утверждение x ∈ A_у доказуемо в данной системе, то число x действительно является элементом множества A_y.

Пусть P — это набор гёделевых номеров всех доказуемых в данной системе утверждений. Пусть опять же для любого множества чисел А его дополнение обозначается символом A̅ (это множество всех чисел, не принадлежащих А). Наконец, через А* мы будем обозначать множество всех чисел х, для которых число x*х принадлежит А. При этом нас будут интересовать системы, для которых выполняются следующие три условия G₁, G₂ и G₃:

Условие G₁. Множество P допускает наименование в данной системе. Иначе говоря, существует по крайней мере одно число р, для которого А_р представляет собой множество гёделевых номеров доказуемых утверждений. (Для системы Фергюссона таким р было число 8.)

Условие G₂. Дополнение любого множества, допускающего наименование в данной системе, также именуемо в этой системе. Иначе говоря, для любого числа x найдется такое число х', для которого множество А_x' является дополнением множества А_х. (Для системы Фергюссона таким x' было число 3·х.)

Условие G₃. Для любого именуемого множества А множество А* также именуемо в данной системе. Иначе говоря, для любого числа x всегда найдется такое число х*, что множество А_x, — представляет собой, множество всех чисел n, для которых n*n принадлежит А_x. (Для системы Фергюссона таким х* было число 3·x + 1.)

Очевидно, что условия F₁, F₂ и F₃, характеризующие машину Фергюссона, представляют собой не более чем частные случаи условий G₁, G₂ и G₃. Последние имеют большое значение потому, что они действительно выполняются для самых разнообразных математических систем, в том числе и для тех двух систем, которые рассмотрены в работе Гёделя. Другими словами, оказывается возможным расположить все допускающие наименование множества в виде бесконечной последовательности A₁, A₂…, A_n… и ввести для всех утверждений некоторую частную нумерацию Гёделя, причем так, что будут выполняться условия G₁, G₂ и G₃. В результате все то, что является доказуемым для систем, удовлетворяющих условиям G₁, G₂ и G₃, будет применимо ко многим другим важным системам. Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему Гёделя в общей форме.

Теорема G.Для любой правильной системы, удовлетворяющей условиям G₁, G₂и G₃, должно существовать утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в данной системе.

Доказательство теоремы G представляет собой простое обобщение доказательства, которое уже известно читателю для системы Фергюссона. Обозначим через К множество таких чисел х, для которых элемент x*x не принадлежит множеству P. Поскольку множество P (согласно условию G₁) именуемо в данной системе, то же можно сказать и о его дополнении P̅ (согласно условию G₂), а следовательно, и о множестве P̅* (согласно условию G₃). Но множество P̅* совпадает с множеством К (поскольку P̅* — это множество таких чисел х, для которых х*x принадлежит P̅, или, другими словами, множество таких чисел х, для которых элемент x*x не принадлежит P). Таким образом, множество К допускает наименование в данной системе, откуда следует, что К = А_k по крайней мере для одного числа k. (Для системы Фергюссона одним из таких значений k было число 73, другим — число 75.) Таким образом, для любого числа x истинность утверждения x ∈ A_k равносильна утверждению, что число x*x не принадлежит P, а это в свою очередь означает, что утверждение x ∈ A_x недоказуемо (в данной системе). В частности, если мы возьмем в качестве x число k то истинность утверждения k ∈ A_k будет равносильна его недоказуемости в данной системе, что означает либо истинность, но недоказуемость этого утверждения, либо его ложность, но доказуемость в той же системе. Но последняя возможность исключена, поскольку мы предположили, что наша система является правильной; следовательно, указанное утверждение истинно, но недоказуемо в данной системе.

Обсуждение. В своей предыдущей книжке «Как же называется эта книга?» я рассматривал аналогичную ситуацию — остров, все жители которого делятся на рыцарей, которые всегда говорят только правду, и плутов, которые всегда лгут. При этом некоторых рыцарей мы называли признанными рыцарями, а некоторых плутов — отъявленными плутами. (Все рыцари высказывают истинные суждения, а признанные рыцари высказывают утверждения, которые не только истинны, но и доказуемы.) Далее, ни один из жителей острова не может сказать: «Я не рыцарь» — ведь рыцари никогда не лгут и, стало быть, рыцарь не станет говорить, будто он не рыцарь; плут же никогда не скажет о себе правдиво, что он не рыцарь. Именно поэтому ни один из обитателей острова никак не может заявить, что он не рыцарь. Вместе с тем некий островитянин вполне может сказать: «Я непризнанный рыцарь». Противоречия в таком заявлении нет, однако вот что интересно: сказавший это наверняка должен быть рыцарем, но непризнанным рыцарем. Дело в том, что плут никак не может сделать правдивого заявления, что он непризнанный рыцарь (поскольку он и в самом деле им не является); стало быть, говорящий должен быть рыцарем. Но раз он рыцарь, то, значит, должен говорить правду; стало быть, он рыцарь, но, как он сам утверждает, — непризнанный рыцарь. (Точно так же высказывание