Почему существует наш мир? Экзистенциальный детектив - [70]

Эти рассуждения вызвали у меня два вопроса. Действительно ли существование платоновского мира обеспечивается самой логикой? И если так, то что заставляет его отбрасывать тени?

Что до первого вопроса, то я не мог не заметить повышенной нервозности Пенроуза. Он сказал: «почти является логической необходимостью». Но почему «почти»? Логическая необходимость либо есть, либо ее нет. Пенроуз придает большое значение утверждению о том, что платоновский мир математики «существует вечно», вне времени. Однако то же самое может быть верно в отношении Бога – если Бог существует. Однако Бог не является логически необходимым существом: Его существование можно отрицать, не впадая в логическое противоречие. Чем математические объекты лучше Бога в этом отношении?

Веру в то, что объекты чистой математики необходимо существуют, можно назвать «древней и почтенной»¹²⁰, однако при ближайшем рассмотрении она не выдерживает критики. Основывается она на двух допущениях: 1) математические истины логически необходимы; 2) некоторые из этих истин утверждают существование абстрактных объектов. Возьмем, например, предложение 20 из «Начал»

Евклида, утверждающее, что существует бесконечное множество простых чисел. Это явно выглядит как утверждение о существовании. Более того, оно кажется верным логически. В самом деле, Евклид доказал, что отрицание существования бесконечного множества простых чисел приводит к абсурду. Допустим, что существует конечное число простых чисел. Тогда, умножая их все вместе и прибавляя 1, можно получить новое число, которое будет больше всех простых чисел и при этом не делится ни на одно из них, – противоречие! Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел способом доведения до абсурда называют первым действительно элегантным доказательством в истории математики. Но дает ли это какие-то основания верить в существование чисел как вечных платоновских сущностей? Не совсем. На самом деле, существование чисел предполагается в доказательстве. В действительности Евклид показал, что если существует бесконечное множество объектов, ведущих себя как числа 1, 2, 3…, то среди них должно существовать бесконечно много объектов, ведущих себя как простые числа. Всю математику можно рассматривать как состоящую из подобных «если… то» утверждений: если такая-то структура удовлетворяет определенным условиям, то эта структура должна также удовлетворять определенным другим условиям. Эти «если… то» истины действительно логически необходимы, но они не делают необходимым существование какого бы то ни было объекта, абстрактного или материального. Например, утверждение «2+2=4» говорит, что если бы у вас было два единорога и вы прибавили бы к ним еще два единорога, то всего у вас получилось бы четыре единорога. Однако это «если… то» утверждение верно, даже если никаких единорогов не существует – или если в мире вообще ничего не существует.

Математики фактически придумывают сложные фантазии. Некоторые из этих фантазий могут иметь аналоги в физическом мире – они составляют то, что мы называем прикладной математикой. Другие, подобные тем, что постулируют существование высших бесконечностей, являются чисто гипотетическими. В создании своих воображаемых вселенных математики ограничены только необходимостью быть логически последовательными – и создавать нечто красивое. «Воображаемые вселенные гораздо прекраснее глупо устроенной настоящей»¹²¹, – заявил великий английский математик Годфри Харди. Если набор аксиом не ведет к противоречию, то вполне может быть, что он описывает Нечто. Именно поэтому, выражаясь словами Георга Кантора, разработавшего теорию бесконечности, «сущность математики заключена в ее свободе»¹²².

Итак, существование математических объектов логикой не предписывается, как считает Пенроуз, а просто дозволяется – а это гораздо более слабый вывод. В конце концов, практически все позволено логикой, но для некоторых современных платонистов еще более радикального толка этого вполне достаточно. С их точки зрения, внутренняя непротиворечивость сама по себе гарантирует математическое существование. То есть если набор аксиом не ведет к противоречию, то описываемый ими мир не только может существовать, но и существует в реальности.

Один из таких радикальных платонистов, Макс Тегмарк, молодой американский космолог шведского происхождения, преподает в Массачусетском технологическом институте. Подобно Пенроузу, Тегмарк верит в то, что Вселенная по своей сути имеет математическую природу, а также в то, что математические сущности абстрактны и неизменны. Тегмарк идет дальше сэра Роджера в том, что утверждает, будто каждая математическая структура, обладающая непротиворечивым описанием, существует в реальном физическом смысле. Каждая из этих абстрактных структур представляет собой параллельный мир, а все вместе эти параллельные миры образуют математическую мультивселенную. «Элементы этой мультивселенной не находятся в одном и том же пространстве, но существуют вне пространства и времени»¹²³, – писал Тегмарк. Их можно представить себе в виде «статичных скульптур, представляющих математическую структуру физических законов, которые ими управляют».